Introduction

Le dénombrement est une branche des mathématiques qui consiste à compter le nombre d'éléments ou de façons de sélectionner certains éléments dans un ensemble.

Les sous-ensembles

Un sous-ensemble d'un ensemble est un ensemble constitué d'éléments que l'on trouve dans l'ensemble de départ. Par exemple, si l'ensemble est \(\{1, 2, 3\}\), alors \(\{1, 3\}\) est un de ses sous-ensembles.

Le nombre total de sous-ensembles d'un ensemble à \(n\) éléments est \(2^n\). Ce nombre inclut l'ensemble vide et l'ensemble lui-même.

Par exemple, pour un ensemble à 3 éléments, il y a \(2^3 = 8\) sous-ensembles.

Les combinaisons

Les combinaisons permettent de choisir un nombre fixe d'éléments dans un ensemble sans tenir compte de l'ordre. C'est comme choisir des cartes dans un jeu : l'ordre ne compte pas, seul le groupe compte.

Le nombre de combinaisons pour choisir \(k\) éléments parmi \(n\), noté \(inom{n}{k}\), est donné par la formule :

\[inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n - k)!}\]

où \(n!\) désigne la factorial de \(n\) : \(n! = n imes (n-1) imes \cdots imes 1\).

Exemple :<\h3>

Pour choisir 2 éléments dans un ensemble de 4 éléments \(\{a, b, c, d\}\), le nombre de combinaisons est :

\[inom{4}{2} = rac{4!}{2! 	imes 2!} = rac{24}{2 	imes 2} = 6\]

Les combinaisons possibles sont : \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{a, d\}\), \(\{b, c\}\), \(\{b, d\}\), \(\{c, d\}\).

Résumé

• Nombre de sous-ensembles d'un ensemble à \(n\) éléments : \(2^n\).
• Nombre de combinaisons pour choisir \(k\) éléments parmi \(n\) : \(inom{n}{k}\).