Dénombrement : Combinaisons et sous-ensembles

Introduction

Le dénombrement permet de compter le nombre de façons de choisir ou d’organiser des éléments dans un ensemble. Parmi les notions clés, on trouve les sous-ensembles et les combinaisons.

Les sous-ensembles

Un sous-ensemble d’un ensemble A est un ensemble dont tous les éléments appartiennent à A. Le nombre de sous-ensembles d’un ensemble à n éléments est donné par :

N = 2^n

Car chaque élément peut soit être choisi, soit ne pas être choisi, ce qui donne deux possibilités par élément.

Les combinaisons

Définition

Les combinaisons permettent de choisir un nombre fixe d’éléments parmi un ensemble sans tenir compte de l’ordre.

Formule

Le nombre de combinaisons de n éléments pris par k, noté \( C(n, k) \), est :

C(n, k) = inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!}

où \( n! \) désigne la factorielle de n.

Exemple

Calculons le nombre de combinaisons de 5 éléments pris 3 par 3 :

C(5, 3) = rac{5!}{3! (5-3)!} = rac{120}{6 	imes 2} = 10

Résumé

• Le nombre de sous-ensembles d’un ensemble à n éléments : \( 2^n \)
• Le nombre de combinaisons de n éléments pris k par k : \( inom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!} \)

Ces outils sont fondamentaux pour résoudre de nombreux problèmes de dénombrement en mathématiques.