Dénombrement : Permutations et Arrangements – Mathematiques

Apprendre à dénombrer des objets lorsque l'ordre compte et quand il ne compte pas, avec ou sans répétition.

Objectifs

Différencier permutations et arrangements (variations) et savoir quand les utiliser.
Connaître les formules de base: permutations n!, arrangements P(n,r) = n!/(n-r)!, répétition possible ou non.
Appliquer les règles de dénombrement sur des exercices simples.

Notions essentielles

Permutation (sans répétition): le nombre de façons d'arranger n objets distincts est \(n!\).
Arrangement (ou variation) sans répétition: prendre r objets parmi n et les disposer: \[ P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]
Arrangement avec répétition: chaque place peut être remplie par n choix, soit \(n^r\).

Exemple 1: Combien d'arrangements de 3 lettres tirées d'un alphabet de 5 lettres?

Étape 1: On choisit et on ordonne 3 lettres parmi 5 sans répétition: on calcule P(5,3).

Étape 2: Application de la formule: \[ P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60 \].

Exemple 2: Combien de mots de longueur 4 peuvent être formés avec répétition autorisée à partir de 3 lettres {A,B,C}?

Étape 1: Chaque position peut être l'une des 3 lettres, et il y a 4 positions: nombre = \(3^4\).

Étape 2: Calcul: \[ 3^4 = 81 \].

Permutation

Disposition de tous les éléments, sans répétition, ordre important

Variation (Arrangement)

Choisir et ordonner r éléments parmi n

Avec répétition

Chaque place a plusieurs choix: n^r

Quel est le nombre d'arrangements de 4 objets pris 3 à la fois sans répétition ?

Réponse: 24, car \(P(4,3) = \frac{4!}{(4-3)!} = 24\).

Voir la solution (exemple 1)

Pour \(P(5,3)\): \(P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{120}{2} = 60\).