Dénombrement : Permutations et Arrangements

Le dénombrement permet de compter le nombre de façons d'organiser ou de sélectionner des éléments. Deux notions importantes sont celles des permutations et des arrangements.

Permutations

Une permutation consiste à réarranger tous les éléments d'un ensemble. Par exemple, si on a 3 lettres A, B, C, toutes les façons de les ranger sont des permutations :

• ABC
• ACB
• BAC
• BCA
• CAB
• CAB

Le nombre de permutations d'un ensemble de \( n \) éléments est donné par :

Formule des permutations

\( P_n = n! \)

avec \( n! \) (factorielle de \( n \)) qui se calcule comme :

Factorielle

\( n! = n imes (n-1) imes (n-2) imes \ldots imes 1 \)

Exemple : \( 4! = 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 24 \)

Arrangements (ou permutations partielles)

Un arrangement consiste à sélectionner et à ordonner \(k\) éléments parmi \(n\). Par exemple, parmi 5 livres, en en choisissant 3 et en les plaçant sur une étagère, on effectue un arrangement.

Formule des arrangements

\( A_{n,k} = rac{n!}{(n-k)!} \)

qui correspond au nombre de façons de choisir et d'ordonner \(k\) éléments parmi \(n\).

Exemples

Exemple 1 : Permutations

Combien de permutations peut-on former avec 4 lettres distinctes ?

Réponse : \( 4! = 24 \)

Exemple 2 : Arrangements

De combien de façons peut-on sélectionner et ordonner 3 lettres parmi 5 ?

Réponse : \( A_{5,3} = rac{5!}{(5-3)!} = rac{120}{2!} = rac{120}{2} = 60 \)

Résumé

• Permutations : organisation de tous les éléments (facteur : \( n! \))
• Arrangements : organisation de \(k\) éléments parmi \(n\) (facteur : \( rac{n!}{(n-k)!} \))

Le dénombrement permet de quantifier précisément toutes ces formes d'organisation.