Introduction

Le dénombrement consiste à compter le nombre de façons possibles d'organiser ou de sélectionner des éléments dans un ensemble. Deux notions importantes sont : les permutations et les arrangements.

Les permutations

Une permutation correspond à une réorganisation complète de tous les éléments d'un ensemble, dans un ordre précis.

Nombre de permutations d'un ensemble de n éléments

Le nombre de permutations possibles de n éléments distincts est donné par :

\[ P(n) = n! \]

où \( n! \) (factorielle de n) est le produit de tous les entiers de 1 à n :

\[ n! = n imes (n-1) imes (n-2) imes \dots imes 2 imes 1 \]

Les arrangements (ou permutations partiels)

Il s'agit d'organiser r éléments parmi un ensemble de n éléments, où \( r \leq n \), dans un ordre précis.

Nombre d'arrangements de r éléments parmi n

Le nombre d'arrangements est :

\[ A(n, r) = rac{n!}{(n - r)!} \]

Ce qui correspond au nombre des permutations de r éléments sélectionnés parmi n.

Exemple

Si l'on a 5 lettres, combien de façons d’en arranger 3 ?

Réponse : \[ A(5, 3) = rac{5!}{(5-3)!} = rac{120}{2!} = rac{120}{2} = 60 \]

Résumé

• Permutations de n éléments : \( n! \)
• Arrangements de r éléments parmi n : \( rac{n!}{(n - r)!} \)