Dénombrement : Principe fondamental du dénombrement

Introduction

Le principe fondamental du dénombrement est une règle de base en combinatoire qui permet de compter le nombre de façons de réaliser successivement deux opérations dans un processus ou une expérience.

Énoncé du principe

Si une opération A peut être réalisée de \( n_A \) façons, et pour chacune de ces façons, une opération B peut être réalisée de \( n_B \) façons, alors le nombre total de façons de réaliser les deux opérations successivement est :

Nombre total de possibilités = \( n_A 	imes n_B \)

Exemples illustratifs

Exemple 1 : Choix de vêtements

Supposons que vous avez 3 chemises différentes et 4 pantalons différents. Combien de tenues différentes pouvez-vous former si vous choisissez une chemise puis un pantalon ?

Nombre de chemises = \( 3 \)

Nombre de pantalons = \( 4 \)

Nombre total de tenues = \( 3 imes 4 = 12 \)

Exemple 2 : Codes

Un code est composé d'une lettre majuscule suivie d'un chiffre. Combien de codes différents pouvez-vous créer si :

• la lettre peut être choisie parmi 26 lettres
• le chiffre peut être choisi parmi 10 chiffres (0 à 9)

Nombre total de codes = \( 26 imes 10 = 260 \)

Cas particulier : plusieurs opérations successives

Ce principe s'applique également lorsque plusieurs opérations sont enchaînées. Par exemple, si une opération A peut être réalisée en \( n_1 \) façons, une opération B en \( n_2 \) façons, une opération C en \( n_3 \) façons, alors :

Nombre total de résultats = \( n_1 	imes n_2 	imes n_3 \)

Résumé

• Le principe fondamental du dénombrement permet de compter facilement le nombre de résultats possibles dans une expérience composée d’étapes successives.
• Il s’appuie sur la multiplication du nombre de possibilités à chaque étape.

Conclusion

Ce principe est fondamental en dénombrement, car il permet d’aborder des problèmes complexes en décomposant le dénombrement en opérations simples.