Dérivation et convexité

Thème : Dérivabilité sur une fonction rationnelle

Introduction

Une fonction rationnelle est une fonction de la forme f(x) =  P(x) / Q(x), où P et Q sont des polynômes. La dérivabilité de telles fonctions dépend de la comportement de Q(x).

Définition de la fonction rationnelle

Une fonction rationnelle est définie par :
f(x) = rac{P(x)}{Q(x)} avec P(x), Q(x) \in \mathbb{R}[X].

Domaines de la fonction

Le domaine de f est tous les réels excepté les points où Q(x) = 0.

Dérivabilité de la fonction rationnelle

Calcul de la dérivée

Si f(x) = rac{P(x)}{Q(x)}, alors sa dérivée est donnée par la formule de la dérivée d’un quotient :

\[ f'(x) = rac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{[Q(x)]^2} \]

Conditions de dérivabilité

• La fonction f est dérivable sur tout intervalle où Q(x) eq 0.
• La dérivabilité en un point où Q(x)=0 n’est pas définie, car la fonction n’est pas continue en ce point.

Exemple

Considérons f(x) = rac{2x^2 + 3}{x - 1}.

Le domaine est :
D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}.

Calculons la dérivée :

\[ P(x) = 2x^2 + 3 \quad \Rightarrow \quad P'(x) = 4x \]
\[ Q(x) = x - 1 \quad \Rightarrow \quad Q'(x) = 1 \]
f'(x) = rac{4x(x - 1) - (2x^2 + 3) 	imes 1}{(x - 1)^2}\]

Ce qui donne :
f'(x) = rac{4x^2 - 4x - 2x^2 - 3}{(x - 1)^2} = rac{2x^2 - 4x - 3}{(x - 1)^2}.

Résumé

• La dérivabilité d’une fonction rationnelle est assurée sur le domaine où Q(x) eq 0.
• La formule de dérivation est un quotient :
  f'(x) = rac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{[Q(x)]^2}.

Conclusion

La dérivabilité d’une fonction rationnelle dépend de la non-annulation du dénominateur. La formule de dérivée permet de calculer rapidement la dérivée, essentielle pour analyser le comportement de la fonction, notamment convexité et extremums.