Dérivabilité sur une fonction rationnelle

Introduction

Une fonction rationnelle est une fonction qui peut s'exprimer sous la forme f(x) = P(x) / Q(x), où P(x) et Q(x) sont des polynômes, et Q(x) ≠ 0.

Conditions de dérivabilité

• La fonction f est dérivable sur un intervalle si elle est différentiable en chaque point de cet intervalle.
• Pour une fonction rationnelle, la dérivabilité est garantie partout où la fonction est définie, c’est-à-dire en dehors des points où Q(x) = 0.

Calcul de la dérivée

La dérivée d’une fonction rationnelle f(x) = P(x) / Q(x) est donnée par la formule :

f'(x) = (P'(x) * Q(x) - P(x) * Q'(x)) / [Q(x)]²

• P'(x) est la dérivée du polynôme P(x).
• Q'(x) est la dérivée du polynôme Q(x).

Exemple

Considérons f(x) = (2x² + 3) / (x - 1).

• P(x) = 2x² + 3, donc P'(x) = 4x.
• Q(x) = x - 1, donc Q'(x) = 1.

Calculons la dérivée :

f'(x) = (4x * (x - 1) - (2x² + 3) * 1) / (x - 1)²
= (4x(x - 1) - 2x² - 3) / (x - 1)²
= (4x² - 4x - 2x² - 3) / (x - 1)²
= (2x² - 4x - 3) / (x - 1)²

Résumé

• La dérivabilité d'une fonction rationnelle est assurée sur tout point où le dénominateur n'est pas nul.
• Sa dérivée s’obtient en utilisant la formule du quotient : (P'Q - PQ') / Q².

Conclusion

Ce savoir permet d’étudier la croissance, le maximum, le minimum ou la convexité des fonctions rationnelles, en calculant leur dérivée sur les intervalles où elles sont dérivables.