Introduction

Ce cours aborde la notion de dérivation et de convexité dans le contexte des nombres complexes. Il permet de comprendre comment étudier les propriétés des fonctions complexes en utilisant ces outils.

1. Numéros Complexes

Un nombre complexe s'écrit sous la forme \( z = a + bi \) où \( a, b \in \mathbb{R} \) et \( i \) est l'unité imaginaire telle que \( i^2 = -1 \).

Le plan complexe (plan d'analyse) représente chaque complexe par un point dont les coordonnées sont \( (a, b) \).

2. Fonction complexe et dérivation

Définition

Une fonction complexe \( f \) est une application \( f : \mathbb{C} o \mathbb{C} \). Elle peut être décomposée en parties réelle et imaginaire : \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \).

Dérivée complexe

La fonction \( f \) est dérivable en un point \( z_0 \) si le limite \[f'(z_0) = \lim_{z o z_0} rac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}\] existe indépendamment de la manière dont \( z \) tend vers \( z_0 \).

La dérivée existe si et seulement si \( u \) et \( v \) vérifient les équations de Cauchy-Riemann :

3. La convexité

Définition

Une fonction \( f : I \subset \mathbb{R} o \mathbb{R} \) est convexe si, pour tout \( x, y \in I \) et \( t \in [0,1] \), on a :

en termes intuitifs, la courbe de la graphique de \( f \) se situe en dessous de toute corde reliant deux points de cette courbe.

Relation avec la dérivée

Si \( f \) est deux fois dérivable, une condition suffisante pour qu'elle soit convexe sur un intervalle est que :

4. Application aux fonctions complexes

La convexité peut également s'appliquer à des fonctions complexes lorsque l'on considère pour un réel \( t \), la fonction \( g(t) = |f(t)| \) ou d'autres formes, en étudiant leur dérivabilité et convexité sur des portions du plan complexe ou leur image.