Introduction à la dérivée

La dérivée d'une fonction mesure son taux de variation instantané en un point. Elle indique si la fonction est croissante ou décroissante à proximité.

Définition formelle

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle. La dérivée de \(f\) en un point \(a\) est définie par :

f'(a) = \lim_{h 	o 0} rac{f(a+h) - f(a)}{h}

Si cette limite existe, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\).

Interprétation géométrique

La dérivée \(f'(a)\) indique la pente de la tangente à la courbe de \(f\) au point \(a\).

Propriétés importantes

• Linearité : pour toute fonction \(f, g\) et tout réel \(k\),
• \( (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x) \)
• \( (k \cdot f)'(x) = k \cdot f'(x) \)

Règles de dérivation

1. Dérivée d'une constante : \( rac{d}{dx}(c) = 0 \)
2. Dérivée de \(x^n\), \(n \in \mathbb{Z}\) : \( rac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1} \)
3. Règle de somme : \( (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x) \)
4. Règle du produit : \( (f \cdot g)'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) \)
5. Règle du quotient : \( \left( rac{f}{g} ight)'(x) = rac{f'(x) g(x) - f(x) g'(x)}{g(x)^2} \)
6. Règle de la chaîne : si \(f\) et \(g\) sont dérivables, alors :

\ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) 	imes g'(x)

Exemples de dérivations

Exemple 1 : \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \)

Derivée : \( f'(x) = 6x + 2 \)

Exemple 2 : \( g(x) = \sin x \)

Derivée : \( g'(x) = \cos x \)