Dérivation et convexité : Dérivée composée, dérivée seconde

1. La dérivée composée (règle de la chaîne)

Soit deux fonctions u et f telles que u est dérivable en x et f est dérivable en u(x). La fonction composée f∘u est définie par :

\[ (f \circ u)(x) = f(u(x)) \]

Sa dérivée est donnée par la règle de la chaîne :

Règle de la chaîne

\[ (f \circ u )'(x) = f'(u(x)) imes u'(x) \]

En résumé, pour calculer la dérivée d'une composition :

1. Calculer la dérivée de f en u(x)
2. Multiplier par la dérivée de u en x

2. La dérivée seconde

La dérivée seconde d'une fonction f est la dérivée de sa dérivée :

\[ f''(x) = rac{d}{dx} (f'(x)) \]

Elle donne des informations sur la courbure et la convexité de la fonction.

Calcul de la dérivée seconde pour une fonction composée

Si f et u sont deux fonctions dérivables, alors :

\[ (f \circ u)''(x) = f''(u(x)) imes (u'(x))^2 + f'(u(x)) imes u''(x) \]

Ce résultat s’obtient en appliquant deux fois la règle de la chaîne et en utilisant la dérivée du produit.

3. Application : étude de la convexité

Une fonction f est convexe sur un intervalle si :

• Sa dérivée seconde est positive : \[ f''(x) > 0 \]
• Elle est concave si : \[ f''(x) < 0 \]

Exemple : si f(x) = x^3, alors :

\[ f'(x) = 3x^2 \]

\[ f''(x) = 6x \]

La fonction est convexe pour \(x > 0\) et concave pour \(x < 0\).

Ces outils permettent d'analyser la variation et la forme des courbes.