1. La dérivée composée

Lorsqu'une fonction peut être exprimée comme la composition de deux fonctions, \(f = g \circ h\), sa dérivée s obtained par la règle de la chaîne.

Formule :

Si \(f(x) = g(h(x))\), alors
\[f'(x) = g'(h(x)) imes h'(x)\]

Cette règle permet de calculer la dérivée de fonctions complexes en combinant les dérivées de fonctions plus simples.

2. La dérivée seconde

La dérivée seconde, notée \(f''(x)\), correspond à la dérivée de la dérivée \(f'(x)\). Elle permet d'analyser la concavité et la convexité d'une fonction.

Définition :

Si \(f'(x)\) est dérivable, alors: \[f''(x) = (f'(x))'\]

Interprétation géométrique :

- Si \(f''(x) > 0\), la courbe est concave vers le haut (convexe).

- Si \(f''(x) < 0\), la courbe est concave vers le bas.

3. Exemple d'application

Considérons la fonction composée \(f(x) = \sin(x^2)\).

Première étape : dériver avec la règle de la chaîne :

  f'(x) = \cos(x^2) 	imes 2x

Pour la dérivée seconde :

  f''(x) = d/dx [2x \cos(x^2)]

En utilisant la règle du produit :

  f''(x) = 2 \cos(x^2) + 2x 	imes (-\sin(x^2)) 	imes 2x

Ce qui donne :

  f''(x) = 2 \cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2)