Introduction

Ce cours porte sur la dérivation composée, aussi appelée dérivée de fonction composée, et la dérivée seconde, qui permet d’analyser la convexité ou la concavité d’une fonction.

1. La dérivée composée

Si on a deux fonctions u(x) et f(x), la fonction composée est défine par :

f ∘ u (x) = f(u(x))

La formule de la dérivée composées (théorème de la chaîne) est :

• (f ∘ u)'(x) = f'(u(x)) × u'(x)

Exemple : si f(x) = x^2 + 3x et u(x) = 2x + 1, alors :

(f ∘ u)'(x) = f'(u(x)) × u'(x) = (2u(x) + 3) × 2 = (2(2x+1) + 3) × 2 = (4x + 2 + 3) × 2 = (4x + 5) × 2 = 8x + 10

2. La dérivée seconde

La dérivée seconde d'une fonction f est notée :

• f''(x)

Elle est la dérivée de la dérivée première :

f''(x) = (f'(x))'

La dérivée seconde permet d'analyser la convexité ou la concavité :

• f''(x) > 0 : la fonction est convexe sur l'intervalle
• f''(x) < 0 : la fonction est concave sur l'intervalle

3. Exemple d'application

Considérons f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

Calculons la dérivée première :

f'(x) = 3x^2 - 12x + 9

Puis la dérivée seconde :

f''(x) = 6x - 12

Elle change de signe en x = 2. La fonction est :

• Concave lorsque x < 2
• Convexe lorsque x > 2