Dérivation et convexité

Dérivation et convexité : Étude de fonctions avec variations et tangentes

1. Introduction

En analysant une fonction, il est essentiel d'étudier ses variations pour comprendre son comportement graphique. La dérivée permet d'obtenir des informations sur la croissance ou la décroissance de la fonction.

2. La dérivée d'une fonction

La dérivée d'une fonction \(f\), notée \(f'\) ou \(rac{df}{dx}\), mesure le taux de variation instantané de \(f\) en un point.

Pour une fonction \(f\) dérivable, la dérivée en un point \(a\) est la pente de la tangente au graphique en ce point :

Tangent en \(a\) : \( y = f(a) + f'(a)(x - a) \)

Exemple : si \(f'(a) > 0\), la fonction est croissante en \(a\); si \(f'(a) < 0\), elle est décroissante.

3. Les variations d'une fonction

Les variations se déterminent grâce à la dérivée :

\(\mathbf{f'(x) > 0}\) : \(f\) est croissante sur l’intervalle
\(\mathbf{f'(x) < 0}\) : \(f\) est décroissante sur l’intervalle

Le ou les points où \(f'(x) = 0\) ou où \(f'\) change de signe, appelés points critiques, seront des candidats pour des extrema locaux.

4. Étude de la convexité

La convexité d'une fonction dépend de la dérivée seconde, notée \(f''\).

\(\mathbf{f''(x) > 0}\) : la fonction est convexe (courbure vers le haut)
\(\mathbf{f''(x) < 0}\) : la fonction est concave (courbure vers le bas)

Les points où \(f''(x) = 0\) peuvent indiquer des points d'inflexion, où la courbure change.

5. Étude de la fonction : démarche pas-à-pas

Calculer \(f'(x)\)
Résoudre \(f'(x) = 0\) pour trouver les points critiques
Étudier le signe de \(f'(x)\) pour déterminer les intervalles de croissance et décroissance
Calculer \(f''(x)\)
Étudier le signe de \(f''(x)\) pour connaître la convexité
Dresser le tableau de variations et le graphique approximatif

6. Exemple illustratif

Considérons la fonction \(f(x) = x^3 - 3x + 1\).

Calcul de la dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 3\)
Résolution : \(f'(x) = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\)
Signe de \(f'(x)\) :
- pour \(x < -1\), \(f'(x) > 0\), f est croissante
- pour \(-1 < x < 1\), \(f'(x) < 0\), f est décroissante
- pour \(x > 1\), \(f'(x) > 0\), f est croissante
Calcul de la dérivée seconde : \(f''(x) = 6x\)
Signe de \(f''(x)\) :
- pour \(x < 0\), \(f''(x) < 0\), la fonction est concave
- pour \(x > 0\), \(f''(x) > 0\), la fonction est convexe

Ce processus permet de tracer le profil de la fonction en identifiant ses variations et son convexité.