Dérivation et convexité : Étude de fonctions avec variations et tangentes

Introduction

Ce cours aborde l'étude des fonctions à l'aide de leur dérivée, permettant d'analyser leurs variations, leur convexité et la position de leurs tangentes.

1. La dérivée d'une fonction

• La dérivée f'(x) mesure la vitesse de changement de la fonction en x.
• Calcul : si f est dérivable, f'(x) = limite de (f(x+h) - f(x))/h quand h → 0.

2. Étude des variations de la fonction

• Établir le signe de f'(x) pour connaître les intervalles de croissance ou décroissance :
• f' > 0 : la fonction est croissante
• f' < 0 : la fonction est décroissante
• Les points critiques : solutions de f'(x) = 0, potentiels extrema (maxima ou minima).

3. Étude de la convexité

• La dérivée seconde f''(x) informe sur la convexité :
• f''(x) > 0 : la courbe est convexe (courbure vers le haut)
• f''(x) < 0 : la courbe est concave (courbure vers le bas)
• Les points d'inflexion : où f''(x) change de signe.

4. Tangentes à la courbe

La tangente à la courbe en un point x₀ est donnée par :

Tangente en x₀ : y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

• La pente est donnée par f'(x₀).
• Elle touche la courbe en ce point et a la même direction locale.

5. Résumé pratique

• Pour étudier une fonction :
  • Calculer f'(x) et déterminer ses signes pour connaître les variations.
  • Calculer f''(x) pour analyser la convexité et repérer les points d'inflexion.
  • Étudier f'(x) = 0 pour trouver les extrema.
  • Utiliser la formule de la tangente pour tracer les droites locales.

Conclusion

L'étude d'une fonction à l'aide de sa dérivée permet de visualiser sa croissance, ses maxima/minima, sa convexité et de comprendre la position de ses tangentes. Ces outils sont fondamentaux en mathématiques pour analyser les courbes.