Dérivation et Convexité

1. Limite d'une fonction

La limite d'une fonction \(f\) en un point \(a\) est la valeur que \(\lim_{x o a} f(x)\) approche lorsque \(x\) se rapproche de \(a\). Elle existe si la gauche et la droite ont la même limite :

• limite à gauche : \(\lim_{x o a^-} f(x)\)
• limite à droite : \(\lim_{x o a^+} f(x)\)

Si ces deux limites sont égales, on dit que la limite en \(a\) existe et vaut cette valeur.

2. Continuité d'une fonction

Une fonction \(f\) est continue en un point \(a\) si :

• \(f\) est définie en \(a\) : \(f(a)\) existe,
• La limite en \(a\) existe : \(\lim_{x o a} f(x)\)
• La limite et la valeur en \(a\) sont égales : \(\lim_{x o a} f(x) = f(a)\)

3. Dérivabilité

Une fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite :

\[ f'(a) = \lim_{h o 0} rac{f(a+h)-f(a)}{h} \] est définie. La quantité \(f'(a)\) est la pente de la tangente en \(a\).

4. Liens entre limite, continuité et dérivabilité

• Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors elle est continue en \(a\).
• La converse n'est pas toujours vraie : une fonction peut être continue mais pas dérivable en un point, comme la fonction \(\left| x ight|\) en \(x=0\).

5. La notion de convexité

Une fonction \(f\) est convexe sur un intervalle si pour tous \(x, y\) dans cet intervalle, et pour tout \(t \in [0,1]\) :

\[ f(tx + (1-t)y) \leq t f(x) + (1-t) f(y) \] C'est-à-dire que la courbe de la fonction est en dessous de ses cordes.

Critère de convexité lié à la dérivée

Si \(f\) est dérivable sur un intervalle, elle est convexe si sa dérivée \(f'\) est croissante :

\[ '(x) ext{ croissante} \Rightarrow f ext{ convexe} \]

6. Résumé

• Limite : valeur approchée lorsque \(x\) approche un point.
• Continuité : fonction sans saut ni interruption à un point.
• Dérivabilité : existence de la pente de la tangente en un point.
• Convexité : forme de la courbe, liée à la croissance de la dérivée.