Dérivation et Convexité : Limite, Continuité, Dérivabilités

Introduction

Ce cours aborde les notions fondamentales de limite, continuité et dérivabilité d'une fonction, en lien avec la convexité. Il permet de comprendre comment ces propriétés s'articulent dans l'étude d'une fonction \(f\).

1. Limite et continuité

Définition de la limite

Pour une fonction \(f\) et un point \(a\), on dit que \(\lim_{x o a} f(x) = L\) si, lorsque \(x\) approche \(a\), \(f(x)\) approche de \(L\).

Formellement :
Si pour tout \(arepsilon > 0\), il existe \(\delta > 0\) tel que
si \(|x - a| < \delta\), alors \(|f(x) - L| < arepsilon\).

Continuité en un point

Une fonction \(f\) est continue en \(a\) si :
\[ \lim_{x o a} f(x) = f(a) \]

2. Dérivabilité d'une fonction

Définition

Une fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si la limite suivante existe :

\[
f'(a) = \lim_{h o 0} rac{f(a+h)-f(a)}{h} \]

Cette limite, si elle existe, donne la pente de la tangente à la courbe en \(a\).

Lien entre continuité et dérivabilité

La dérivabilité implique la continuité : si \(f\) est dérivable en \(a\), alors elle est continue en \(a\).

3. Limite, continuité, dérivabilité : résumé

Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors elle est continue en \(a\).
La dérivabilité est une propriété plus forte que la continuité.
Le contraire n’est pas vrai : une fonction peut être continue mais pas dérivable.

4. Notions liées à la convexité

Fonction convexe

Une fonction \(f\) définie sur un intervalle est convexe si, pour tous \(x,y\) dans cet intervalle et pour tout \(\lambda \in [0,1]\), on a :

\[
f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) \]

Graphiquement, la courbe de \(f\) se courbe vers le haut.

Convexité et dérivées

Pour une fonction \(f\) dérivable, une convexité sur un intervalle peut se caractériser par :

\[
f''(x) \geq 0 \quad ext{pour tout } x ext{ dans l'intervalle} \]

Conclusion

Les notions de limite, continuité et dérivabilité sont fondamentales pour l’étude des fonctions. La convexité, liée à la dérivée seconde, éclaire la forme de la courbe.