1. Introduction aux fonctions complexes

Une fonction complexe \( f : \mathbb{C} o \mathbb{C} \) associe à chaque nombre complexe \( z \) un autre nombre complexe. Elle peut souvent s’écrire sous la forme \( f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \), où \( z = x + iy \) avec \( x, y \in \mathbb{R} \).

2. La dérivabilité en analyse complexe

Une fonction est dite dérivable (holomorphe) en un point si la limite \(\displaystyle f'(z) = \lim_{h o 0} rac{f(z+h) - f(z)}{h}\) existe indépendamment de la manière dont \( h \) tend vers 0 dans \( \mathbb{C} \).

Les conditions de Cauchy-Riemann, nécessaires et suffisantes pour la dérivabilité, sont :

\[ rac{\partial u}{\partial x} = rac{\partial v}{\partial y} \quad ext{et} \quad rac{\partial u}{\partial y} = - rac{\partial v}{\partial x} \]

3. La convexité en contexte complexe

Une fonction \( f : \Omega \subseteq \mathbb{C} o \mathbb{R} \) est convexe si pour tous \( z_1, z_2 \in \Omega \) et \( t \in [0,1] \), on a :

\[ f(t z_1 + (1 - t) z_2) \leq t f(z_1) + (1 - t) f(z_2) \]

En termes géométriques, la convexité concerne la forme du graphique de la fonction : une fonction convexe a une courbe qui ne