Dérivation et convexité : Points d’inflexion

1. Introduction à la convexité

Une fonction \(f\) est dite convexe sur un intervalle si sa courbe est tournée vers le haut, c’est-à-dire que pour tous \(x, y\) dans cet intervalle et pour tout \(t \in [0,1]\), on a :

f(tx + (1 - t)y) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)

De manière intuitive, la courbe ne présente pas de « pli » vers le bas.

2. La dérivée seconde et la convexité

Si \(f\) est deux fois dérivable, elle est convexe sur un intervalle si et seulement si :

f''(x) \geq 0 \quad \text{pour tout } x \text{ dans l'intervalle}

De même, si \(f''(x) \leq 0\), la fonction est concave.

3. Points d’inflexion

Un point d’inflexion est un point \(x_0\) où la courbure change de signe :

• Si \(f''(x)\) s’annule en \(x_0\) et change de signe à ce point, alors \(x_0\) est un point d’inflexion.

Par exemple :

Si \(f''(x_0) = 0\) et que \(\text{sign}(f''(x))\) change en passant par \(x_0\), alors \(x_0\) est un point d’inflexion.

4. Exemple concret

Considérons la fonction \(f(x) = x^3\).

f'(x) = 3x^2,\quad f''(x) = 6x.

Elle a un point d’inflexion en \(x=0\) car :

• \(f''(0) = 0\)
• et \(\text{sign}(f''(x))\) change de positif à négatif en passant par 0 : \quad \text{de } + \text{ pour } x<0 \text{ à } - \text{ pour } x>0.\)

5. Résumé

• Convexité d’une fonction : \(f''(x) \geq 0\).
• Point d’inflexion : changement de signe de \(f''(x)\) avec une racine en \(x_0\).

Ces notions permettent d’analyser la forme d’une fonction et son comportement local.