Dérivation et Convexité : Points d'Inflexion
Dérivation et convexité — Convexité et points d'inflexion
Comprendre comment la dérivée et la dérivée seconde disent si une courbe est convexe, concave, ou présente un point d'inflexion.
Objectifs
- Connaître la définition géométrique et analytique d'une fonction convexe/concave.
- Utiliser la dérivée seconde pour tester la convexité sur un intervalle.
- Identifier et justifier un point d'inflexion.
Notions clés
Convexité : définition
Définition (géométrique). Une fonction \(f\) définie sur un intervalle \(I\) est convexe si, pour tous \(x,y\in I\) et tout \(t\in[0,1]\), on a :
\(\forall x,y\in I,\ \forall t\in[0,1],\quad f\big(tx+(1-t)y\big) \le t\,f(x) + (1-t)\,f(y)\).
Condition dérivée. Si \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\), alors :
\(\text{si } f''(x) \ge 0 \text{ pour tout } x\in I, \text{ alors } f \text{ est convexe sur } I.\)
De même, si \(f''(x) \le 0\) sur \(I\), alors \(f\) est concave sur \(I\).
Point d'inflexion
Définition. Un point \(c\in I\) est un point d'inflexion de \(f\) si la concavité de \(f\) change en \(c\) (on passe de convexe à concave ou inversement).
Si \(f\) est deux fois dérivable, un point d'inflexion nécessite généralement :
\(f''(c)=0\) ou \(f''(c)\) n'existe pas, et de part et d'autre de \(c\), le signe de \(f''\) change.
Si \(f''(x) > 0\) sur un intervalle, quelle affirmation est vraie ?
Exemples résolus
Exemple 1 — \(f(x)=x^3\)
Contexte : Cette fonction montre un changement de courbure au point 0, utile comme exemple canonique d'inflexion.
Voir la solution
Calculs :
\begin{align} f(x) &= x^3 \\ f'(x) &= 3x^2 \\ f''(x) &= 6x \end{align}
On observe que \(f''(0)=0\) et que pour \(x<0\), \(f''(x)<0\) tandis que pour \(x>0\), \(f''(x)>0\). Il y a donc un changement de signe en 0, d'o\`u 0 est un point d'inflexion.
Exemple 2 — \(g(x)=x^4\)
Contexte : Même si \(g''(0)=0\), la courbure ne change pas ici : attention au piège.
Voir la solution
Calculs :
\begin{align} g(x) &= x^4 \\ g'(x) &= 4x^3 \\ g''(x) &= 12x^2 \end{align}
On a \(g''(x) = 12x^2 \ge 0\) pour tout \(x\), et \(g''(0)=0\) mais le signe de \(g''\) ne change pas autour de 0 (il reste non négatif). Donc 0 n'est pas un point d'inflexion.
Parmi ces affirmations, laquelle est vraie pour \(g(x)=x^4\) ?
Erreurs fréquentes
- Penser qu'un seul test \(f''(c)=0\) suffit ; il faut vérifier le signe de part et d'autre.
- Oublier que la définition géométrique (segment) reste valable même sans dérivées.
- Appliquer la condition \(f''\ge 0\) localement sans vérifier la dérivabilité sur l'intervalle.
Quel test est nécessaire pour affirmer qu'un point \(c\) est un point d'inflexion pour une fonction deux fois dérivable ?
Récapitulatif
- Convexité géométrique : segment au-dessus de la courbe. \(f(tx+(1-t)y) \le t f(x)+(1-t)f(y)\).
- Condition dérivée : \(f''\ge 0\) => \(f\) convexe (si \(f\) deux fois dérivable).
- Point d'inflexion : changement de concavité ; vérifier le signe de \(f''\).
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