Introduction

En analyse, l'étude de la différenciabilité d'une fonction est essentielle pour comprendre son comportement. Lorsqu'une fonction dérivable sur un intervalle, il est souvent utile d'étendre cette propriété au-delà, notamment en étudiant son prolongement en un point à la frontière de son domaine. La continuité joue un rôle clé dans ce prolongement.

1. Prolongement d'une fonction dérivable

Définition

Soit \(f\) définie sur un intervalle \( (a, b) \). On dit que \(f\) admet un prolongement en un point \( c \) (avec \(a < c \leqb\) ou \(a \leq c < b\)) si la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(c\) existe et est finie :

\[\lim_{x 	o c} f(x) = L \in \mathbb{R}\]

Prolongement continu

Si cette limite existe, on peut définir la valeur de la fonction en \(c\) en lui associant cette limite, permettant d'étendre la fonction en un point où elle était initialement non définie ou où sa dérivabilité n'était pas assurée.

Théorème (Prolongement et limite)

Une fonction \(f\) dérivable sur \( (a, b) \) admet un prolongement en \(c \in [a,b]\) si et seulement si la limite \(\displaystyle \lim_{x o c} f(x)\) existe et est finie. La fonction prolongée est continue en \(c\).

2. Conditions pour que la prolongation soit dérivable

Continuité et dérivabilité

Pour qu'une fonction soit dérivable en un point limite, il faut d'abord qu'elle soit continue en ce point, puis que la limite du taux de variation existe :

\[\lim_{x 	o c} rac{f(x)-f(c)}{x-c}\]

Si cette limite existe, la fonction est dérivable en \(c\) et sa dérivée en ce point est cette limite.

Exemple

Considérons la fonction \(f(x) = x^2\) définie sur \(\mathbb{R}\). La prolongation en \(x=0\) est évidente car :

\[\lim_{x 	o 0} f(x) = 0 = f(0)\]

Elle est continue et dérivable en 0, avec \(f'(0) = 0\).

3. Convexité et prolongement

Définition de la convexité

Une fonction \(f\) est dite convexe sur un intervalle si pour tous \(x, y\) dans cet intervalle et pour tout \(t \in [0,1]\) :

\[f(tx + (1 - t)y) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\]

Prolongement d'une fonction convexe

Si une fonction convexe est définie sur un intervalle ouvert, la limite en un point frontière, si elle existe, permet de la prolonger en maintenant la convexité.

Remarque

Le prolongement d'une fonction convexe en un point où elle n'est pas initialement définie, tout en préservant la convexité, peut être réalisé en utilisant la limite de \(f(x)\) quand \(x o c\), si elle existe.