Dérivation : Fonctions dérivables - Carré, Cube, Racine et Inverse

Introduction

En mathématiques, la dérivée d'une fonction mesure sa variation instantanée. Nous allons étudier la dérivabilité de quatre fonctions essentielles : le carré, le cube, la racine carrée et l'inverse.

1. Fonction carré : \(f(x) = x^2\)

La dérivée de cette fonction est obtenue en utilisant la formule de dérivation des puissances :

    (x^n)' = n 	imes x^{n-1}

Donc, la dérivée de \(f(x) = x^2\) est :

    f'(x) = 2x

2. Fonction cube : \(f(x) = x^3\)

De même, en utilisant la formule pour la puissance :

    (x^n)' = n 	imes x^{n-1}

On obtient :

    f'(x) = 3x^2

3. Fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}\)

La dérivée d'une puissance est aussi valable ici :

    f'(x) = rac{1}{2} x^{-1/2} = rac{1}{2 \sqrt{x}}\ 	ext{pour}\ x > 0

Cette fonction est dérivable uniquement pour \(x > 0\).

4. Fonction inverse : \(f(x) = rac{1}{x}\)

En réécrivant \(f(x)\) sous forme de puissance :

    f(x) = x^{-1}\

Sa dérivée est :

    f'(x) = -1 	imes x^{-2} = -rac{1}{x^2}\ 	ext{pour}\ x 
eq 0

Elle est dérivable pour tout \(x eq 0\).

Résumé

• Pour toute fonction de la forme \(x^n\), la dérivée est \(n x^{n-1}\).
• La racine carrée est dérivable pour \(x > 0\).
• L'inverse est dérivable pour \(x eq 0\).