Les fonctions dérivables

Introduction

Une fonction est dite dérivable sur un intervalle si sa dérivée existe en chaque point de cet intervalle. Cela signifie que la fonction admet une tangente à chaque point avec une pente bien définie.

Les fonctions classiques : carré, cube, racine, inverse

1. La fonction carrée : \(f(x) = x^2\)

Sa dérivée est donnée par la règle de puissance : \(\displaystyle f'(x) = 2x\).

2. La fonction cube : \(f(x) = x^3\)

Sa dérivée est également une règle de puissance : \(\displaystyle f'(x) = 3x^2\).

3. La fonction racine carrée : \(f(x) = \sqrt{x}\)

Pour \(x > 0\), sa dérivée se calcule en utilisant la formule de la racine : \(\displaystyle f'(x) = rac{1}{2\sqrt{x}}\).

4. La fonction inverse : \(f(x) = rac{1}{x}\)

Pour \(x eq 0\), sa dérivée est : \(\displaystyle f'(x) = -rac{1}{x^2}\).

Résumé des dérivées importantes

• \(f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n x^{n-1}\) (règle de puissance)
• \(\displaystyle rac{d}{dx} \sqrt{x} = rac{1}{2\sqrt{x}}\)
• \(\displaystyle rac{d}{dx} \left(rac{1}{x} ight) = - rac{1}{x^2}\)

Conclusion

Ces fonctions sont essentielles en mathématiques car elles représentent des bases pour étudier la variation et les taux de changement. Leur dérivée permet d'analyser leur croissance ou décroissance.