Dérivation : Fonctions dérivables - Carré, Cube, Racine, Inverse

Introduction

La dérivation permet de calculer la pente de la tangente à la courbe d'une fonction en un point. Nous étudierons ici la dérivabilité de certaines fonctions courantes : le carré, le cube, la racine et l'inverse.

Fonction carré : f(x) = x^2

La dérivée est :
f'(x) = 2x

Elle nous indique que la pente de la courbe en un point x est 2x.

Fonction cube : f(x) = x^3

La dérivée est :
f'(x) = 3x^2

Ceci signifie que la pente en un point x est 3x².

Fonction racine : f(x) = √x

Pour x > 0, la dérivée est :
f'(x) = 1 / (2√x)

La fonction est dérivable sur (0, +∞).

Fonction inverse : f(x) = 1/x

pour x ≠ 0, la dérivée est :
f'(x) = -1 / x^2

La fonction est dérivable sur (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Résumé

• f(x) = x² ⇒ f'(x) = 2x
• f(x) = x³ ⇒ f'(x) = 3x²
• f(x) = √x ⇒ f'(x) = 1 / (2√x), pour x > 0
• f(x) = 1/x ⇒ f'(x) = -1 / x², pour x ≠ 0

Conclusion

Ces fonctions sont toutes dérivables sur leurs domaines respectifs. La dérivée permet d'étudier la croissance, la décroissance et la tangente à la courbe en un point.