Dérivation - Fonctions dérivables : carré, cube, racine, inverse

La dérivation mesure le taux de variation d'une fonction en un point et permet d'obtenir des expressions simples pour les fonctions usuelles: carré, cube, racine, et inverse.

Objectifs

Dériver les fonctions usuelles: \(f(x)=x^2\), \(g(x)=x^3\), \(h(x)=\sqrt{x}\), \(u(x)=\dfrac{1}{x}\).
Interpréter la dérivée comme pente de la tangente et vitesse de variation.
Utiliser des règles simples et vérifier les résultats pas à pas.

Notions clés

Fonctions dérivables considérées

Carré : \(f(x)=x^2\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x)=2x\).
Cube : \(f(x)=x^3\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(f'(x)=3x^2\).
Racine : \(f(x)=\sqrt{x} = x^{1/2}\) est dérivable sur \(x>0\) et \(f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).
Inverse : \(f(x)=\dfrac{1}{x}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) et \(f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\).

Quelle est la dérivée de \(f(x)=x^2\) ?

\(2x\)
\(x\)
\(2\)

La dérivée de \(x^n\) est \(n x^{n-1}\); ici \(n=2\) donc \(f'(x)=2x\).

Exemples résolus

Exemple 1 : dérivée de \(f(x)=x^2\)

On cherche \(f'(x) = \dfrac{d}{dx} x^2\) et on obtient \(f'(x)=2x\).

Étape 1 : écrire \(f(x)=x^2\).

Étape 2 : appliquer la règle de puissance \(\dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\) avec \(n=2\).

Étape 3 : obtenir \(f'(x)=2x\).

Discussion : la dérivée d'une puissance est proportionnelle à la puissance diminuée d'un unité.

Voir la solution pas à pas

\[ \begin{align} f(x) &= x^2 \\\n f'(x) &= \dfrac{d}{dx} x^2 = 2x \\ \end{align} \]

Exemple 2 : dérivée de \(h(x)=\sqrt{x}\) et \(u(x)=1/x\)

On écrit \(h(x)=x^{1/2}\) et \(u(x)=x^{-1}\).

Étape 1 : réécrire avec des exposants.

Étape 2 : appliquer la règle de puissance: \( \dfrac{d}{dx} x^{n} = n x^{n-1} \).

Étape 3 : obtenir \(h'(x)=\dfrac{1}{2} x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) et \(u'(x)=-x^{-2} = -\dfrac{1}{x^{2}}\).

Voir la solution pas à pas

\[ \begin{align} h(x) &= x^{1/2} \\\n h'(x) &= \tfrac{1}{2} x^{-1/2} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \\\n u(x) &= x^{-1} \\\n u'(x) &= -x^{-2} = -\dfrac{1}{x^{2}} \end{align} \]\

Erreurs fréquentes

Confondre dérivée et primitive; ne pas vérifier le domaine de dérivabilité.
Oublier que la dérivée de \(\sqrt{x}\) n'est définie que pour \(x>0\).
Appliquer une règle sans vérifier les conditions préalables (ex: pour les fonctions non dérivables en un point).

Récapitulatif

Carré : \( \dfrac{d}{dx} x^2 = 2x \).
Cube : \( \dfrac{d}{dx} x^3 = 3x^2 \).
Racine : \( \dfrac{d}{dx} \sqrt{x} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) (pour \(x>0\)).
Inverse : \( \dfrac{d}{dx} \dfrac{1}{x} = -\dfrac{1}{x^2} \) (pour \(x\neq 0\)).