Dérivation : Opérations sur les fonctions dérivables
1èreMathematiquesDérivationOpérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient, composition~3 min de lecture
Ce cours présente les opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient et composition.
Objectifs
- Savoir calculer la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une composition de fonctions dérivables.
- Appliquer ces opérations dans des exercices variés pour simplifier et dériver des fonctions complexes.
Notions clés
- Dérivée de la somme : si f et g sont dérivables, alors \\ [ \frac{d}{dx} (f + g) = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx} ]
- Dérivée du produit : si f et g sont dérivables, alors \\ [ \frac{d}{dx} (f \times g) = f \times \frac{dg}{dx} + g \times \frac{df}{dx} ]
- Dérivée du quotient : si f et g sont dérivables, g ≠ 0, alors \\ [ \frac{d}{dx} (\frac{f}{g}) = \frac{g \times \frac{df}{dx} - f \times \frac{dg}{dx}}{g^2} ]
- Dérivée de la composition : si f et g sont dérivables, alors \\ [ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x)) \times g'(x) ]
Exemples résolus
Dérivée de la somme
Voir la solution
1. Soit f(x) = 3x^2 + 2x, g(x) = x^3 - x.
2. Dérivées :
\[
\begin{align}
\frac{df}{dx} &= 6x + 2,
\\
\frac{dg}{dx} &= 3x^2 - 1.
\end{align}
\]
3. La dérivée de la somme :
\[
\frac{d}{dx} (f + g) = (6x + 2) + (3x^2 - 1) = 3x^2 + 6x + 1.
\]
Dérivée du produit
Voir la solution
1. Soit f(x) = x^2, g(x) = \ce{sin x}.
2. Dérivées :
\[
\frac{df}{dx} = 2x,
\\
\frac{dg}{dx} = \cos x.
\]
3. La dérivée du produit :
\[
\frac{d}{dx} (x^2 \times \sin x) = x^2 \times \cos x + 2x \times \sin x.
\]
Dérivée du quotient
Voir la solution
1. Soit f(x) = \ce{e^x}, g(x) = x^2.
2. Dérivées :
\[
\frac{df}{dx} = \ce{e^x},
\\
\frac{dg}{dx} = 2x.
\]
3. La dérivée du quotient :
\[
\frac{d}{dx} \left( \frac{\ce{e^x}}{x^2} \right) = \frac{x^2 \times \ce{e^x} - \ce{e^x} \times 2x}{x^4} = \frac{\ce{e^x} (x^2 - 2x)}{x^4}.
\]
Dérivée de la composition
Voir la solution
1. Soit f(u) = \ce{sin u}, g(x) = 3x + 1.
2. Dérivées :
\[
f'(u) = \cos u,
\\
g'(x) = 3.
\]
3. Composition :
\[
\frac{d}{dx} ( \sin (3x + 1) ) = \cos (3x + 1) \times 3.
\]
Erreurs fréquentes
- Confondre la dérivée d'une somme avec la somme des dérivées.
- N'oublier pas la règle du produit ou du quotient notamment lors de dérivations complexes.
- Oublier la règle de la chaîne pour la dérivée d'une composition.
Récapitulatif
Dérivée de la somme
\(\frac{d}{dx} (f + g) = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx}\)
Dérivée du produit
\(\frac{d}{dx} (f \times g) = f \times \frac{dg}{dx} + g \times \frac{df}{dx}\)
Dérivée du quotient
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{g \times \frac{df}{dx} - f \times \frac{dg}{dx}}{g^2} \]
Dérivée de la composition
\[ \frac{d}{dx} (f(g(x))) = f'(g(x)) \times g'(x) \]
Mini quiz
Quelle est la dérivée de \(f(x) = x^3 + 4x\) ?
La dérivée de \(x^3\) est \(3x^2\), et celle de \(4x\) est \(4\).
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