Introduction

La dérivation permet d'étudier la variation d'une fonction en un point. Elle sert notamment à déterminer la pente de la courbe en ce point, c'est-à-dire la pente de la tangente à la courbe.

La notion de pente

La pente d'une droite est son inclination. Si une droite passe par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\), sa pente \(m\) se calcule par :

\[ m = rac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Pour une courbe, lorsqu'on s'approche d'un point, la pente de la tangente à la courbe en ce point est donnée par la dérivée de la fonction en ce point.

La notion de tangente

La tangente à une courbe en un point est la droite qui « touche » la courbe en ce point, sans la couper si la courbe est « lisse » (différentiable). La pente de cette tangente est égale à la dérivée de la fonction en ce point.

Calcul de la dérivée

La dérivée d'une fonction \(f\) en un point \(x\), notée \(f'(x)\), représente la pente de la tangente en ce point.

Par exemple, si \(f(x) = x^2\), sa dérivée est :

\[ f'(x) = 2x \]

Équation de la tangente

Pour une fonction \(f\) dérivable en un point \(a\), l'équation de la tangente à la courbe de \(f\) en ce point est :

\[ y = f(a) + f'(a)(x - a) \]

où :

• \(\,f(a)\) est la valeur de la fonction en \(a\),
• \(f'(a)\) est la dérivée en ce point,
• \(x\) est la variable.

Ce qui donne une droite qui a la même pente que la courbe en ce point.

Exemple

Considérons la fonction \(f(x) = x^2\) et le point \(a=1\).

Calculons \(f(1) = 1^2 = 1\).

La dérivée : \(f'(x) = 2x\), donc \(f'(1) = 2\).

Equation de la tangente :

\[ y = 1 + 2 (x - 1) \]

En développant :

\[ y = 1 + 2x - 2 = 2x - 1 \]

Elle est la droite tangente à la courbe au point \(x=1\).