Dérivation : Tangente, pente et équation de la tangente

1. La dérivée d'une fonction

La dérivée d'une fonction \(f\), notée \(f'\), mesure la variation instantanée de \(f\) en un point. Elle correspond à la pente de la tangente à la courbe en ce point.

2. La pente de la tangente à la courbe

• Pour une fonction \(f\) dérivable en un point \(a\), la pente de la tangente à la courbe en \(a\) est donnée par \(f'(a)\).
• La pente indique si la courbe monte (\(f'(a) > 0\)), descend (\(f'(a) < 0\)), ou est horizontale (\(f'(a) = 0\)).

3. Ligne de la tangente au point \(a\)

La droite tangente à la courbe \(y = f(x)\) en \(a\) est l'équation de la forme :

  y = f(a) + f'(a)(x - a)

où :

• \(f(a)\) est la valeur de la fonction en \(a\),
• \(f'(a)\) est la dérivée en \(a\).

4. Exemple illustratif

Considérons la fonction \(f(x) = x^2\).

• Sa dérivée est \(f'(x) = 2x\).
• En \(a=1\), la pente de la tangente est \(f'(1) = 2 imes 1 = 2\).
• La valeur de la fonction en 1 est \(f(1) = 1^2 = 1\).
• L'équation de la tangente en 1 est :

  y = 1 + 2(x - 1) \quad 	ext{soit} \quad y=2x-1

Donc, la droite tangente à la courbe en \(x=1\) est \(y=2x-1\).

5. Résumé

• La dérivée \(f'\) donne la pente de la tangente en chaque point.
• L'équation de la tangente en \(a\) est \(y = f(a) + f'(a)(x - a)\).
• Cette ligne donne une approximation locale de la courbe en \(a\).