1. Introduction

La dérivation permet d'étudier comment une fonction varie en un point précis. Elle est liée au taux de variation instantané de la fonction.

2. Le taux de variation

Le taux de variation entre deux points A(x, f(x)) et B(x+h, f(x+h)) d'une fonction f est donné par :

Taux de variation = 
frac{f(x+h) - f(x)}{h}

Ce calcul représente la pente de la droite secante reliant A et B. Il donne une idée de la variation de f entre ces deux points.

3. La limite et le nombre dérivé

Pour connaître la variation instantanée en un point x, on fait tendre h vers 0 :

f'(x) = limh 	o 0 rac{f(x+h) - f(x)}{h}

Ce nombre dérivé f'(x) correspond à la pente de la tangente à la courbe en x.

4. Interprétation géométrique

Le nombre dérivé en un point est la pente de la tangente à la courbe à cet endroit. Il indique si la fonction est croissante (f'(x) > 0) ou décroissante (f'(x) < 0).

5. Exemple

Considérons la fonction f(x) = x^2.

Calcul du nombre dérivé :

f'(x) = limh 	o 0 rac{(x+h)^2 - x^2}{h} = limh 	o 0 rac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = limh 	o 0 rac{2xh + h^2}{h} = limh 	o 0 (2x + h) = 2x

La dérivée de f est donc f'(x) = 2x.