Dérivation : Taux de variation et nombre dérivé

Introduction

La dérivation est un concept fondamental en mathématiques qui permet d'étudier comment une fonction change en un point. Elle est essentielle pour comprendre la vitesse, l'optimisation et de nombreux autres concepts mathématiques.

1. Taux de variation

Le taux de variation mesure comment une fonction \(f\) varie entre deux points. Si on considère deux points \(A(x, f(x))\) et \(B(x+h, f(x+h))\), le taux de variation entre ces deux points est :

Taux de variation moyen :

\[ rac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Ce quotient représente la pente de la droite secante qui relie \(A\) et \(B\). Lorsque \(h\) tend vers 0, cette pente tend vers la pente de la tangente à la courbe en \(x\).

2. Nombre dérivé

Le nombre dérivé de la fonction \(f\) en un point \(x\), noté \(f'(x)\), est la limite :

\[ f'(x) = \lim_{h o 0} rac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Si cette limite existe, la fonction est dérivable en \(x\), et \(f'(x)\) donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.

3. Interprétation physique

Si \(f(t)\) représente une position en fonction du temps, alors \(f'(t)\) est la vitesse instantanée à l'instant \(t\).

4. Exemples

Exemple 1 :

Soit la fonction \(f(x) = x^2\).

Calculons la dérivée en utilisant la définition :

\[ f'(x) = \lim_{h o 0} rac{(x+h)^2 - x^2}{h} \]

\[ = \lim_{h o 0} rac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} \]

\[ = \lim_{h o 0} rac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h o 0} (2x + h) = 2x \]

Exemple 2 :

Pour \(f(x) = \sin x\), le nombre dérivé est :

\[ f'(x) = \cos x \]

Conclusion

La dérivation permet d'analyser le taux de variation d'une fonction en un point précis. Elle est à la fois une limite du taux de variation moyen et un outil fondamental pour étudier les graphiques et les comportements des fonctions.