Introduction

La dérivation est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d'étudier comment une fonction évolue localement, c'est-à-dire sa variation instantanée à un point donné.

1. Taux de variation

Le taux de variation entre deux points \((x_a, f(x_a))\) et \((x_b, f(x_b))\) d'une fonction \(f\) est défini par :

\( rac{f(x_b) - f(x_a)}{x_b - x_a} \)

C'est la pente de la corde qui relie ces deux points sur la courbe de la fonction.

Plus on réduit l'intervalle \( [x_a, x_b] \), plus cette pente se rapproche de la pente de la tangente en un point précis, donnant ainsi le taux de variation instantané.

2. La notion de nombre dérivé

Le nombre dérivé en un point \(x\) est défini comme la limite du taux de variation lorsque \(x_b\) tend vers \(x\) :

\[ f'(x) = \lim_{h o 0} rac{f(x + h) - f(x)}{h} \]

Ce limite existe lorsque la fonction est différentiable en \(x\). Elle représente la pente de la tangente à la courbe au point \(x\).

3. Interprétation graphique

Graphiquement, le nombre dérivé \(f'(x)\) correspond à la pente de la ligne tangent à la graphique de \(f\) en \(x\).

Une pente positive indique que la fonction augmente au point \(x\), une pente négative indique qu'elle diminue, et une pente nulle indique un maximum, un minimum ou un point d'inflexion.

4. Résumé

• Le taux de variation moyen entre deux points est donné par \(rac{f(x_b) - f(x_a)}{x_b - x_a}\).
• Le taux de variation instantané en un point est le nombre dérivé \(f'(x)\), défini par la limite du taux de variation quand \(h o 0\).
• Le nombre dérivé donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.