Dérivée composée, dérivée seconde

Pour dériver une fonction « emboîtée » dans une autre, on multiplie la dérivée de l'intérieur par la dérivée de l'extérieur ; en dérivant une deuxième fois, on obtient la dérivée seconde, qui dit si la courbe se creuse vers le haut (convexe) ou vers le bas (concave).

Objectifs

Reconnaître une fonction composée \(x \mapsto g(u(x))\) et identifier \(u\) et \(g\).
Appliquer la formule \((g \circ u)' = u' \times (g' \circ u)\) et ses cas particuliers : \(u^n\), \(\sqrt{u}\), \(e^{u}\), \(\ln u\), \(\cos u\), \(\sin u\), \(f(ax+b)\).
Calculer une dérivée seconde \(f''\).
Utiliser le signe de \(f''\) pour étudier la convexité d'une fonction et trouver un point d'inflexion.

1. Fonctions composées

Notions clés

Soit \(u\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(g\) une fonction définie sur un intervalle \(J\) qui contient toutes les valeurs \(u(x)\) pour \(x \in I\). La composée de \(u\) suivie de \(g\) est la fonction notée \(g \circ u\) (on lit « \(g\) rond \(u\) ») :

\[(g \circ u)(x) = g\big(u(x)\big).\]

flowchart LR
  A[Nombre x] --> B[Machine u]
  B --> C[Nombre u de x]
  C --> D[Machine g]
  D --> E[Résultat g de u de x]

Exemples de décomposition :

\(f(x) = (3x^2+1)^4\) : l'intérieur est \(u(x) = 3x^2+1\), l'extérieur est \(g(X) = X^4\).
\(f(x) = \sqrt{x^2+5}\) : \(u(x) = x^2+5\) et \(g(X) = \sqrt{X}\).
\(f(x) = e^{-x^2}\) : \(u(x) = -x^2\) et \(g(X) = e^{X}\).

Pour \(f(x) = \ln(x^2+1)\), quelle est la fonction intérieure \(u\) ?

\(u(x) = \ln x\)
\(u(x) = x^2\)
\(u(x) = x^2+1\)

On calcule d'abord \(x^2+1\), puis on prend le logarithme du résultat : l'intérieur est \(u(x) = x^2+1\) et l'extérieur est \(g(X) = \ln X\).

2. Dérivée d'une fonction composée

Le théorème

Si \(u\) est dérivable sur \(I\) et \(g\) dérivable sur \(J\) (avec \(u(x) \in J\) pour tout \(x\) de \(I\)), alors \(g \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :

\[(g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'\big(u(x)\big).\]

Les formules à connaître

En appliquant le théorème, on obtient les formules suivantes (avec \(u\) dérivable, et strictement positive lorsque c'est nécessaire) :

\[\begin{aligned} (u^n)' &= n\,u'\,u^{n-1} \quad (n \text{ entier relatif, } u \neq 0 \text{ si } n \leqslant 0) \\ \big(\sqrt{u}\big)' &= \frac{u'}{2\sqrt{u}} \quad (u > 0) \\ \big(e^{u}\big)' &= u'\,e^{u} \\ (\ln u)' &= \frac{u'}{u} \quad (u > 0) \\ (\cos u)' &= -u'\sin u \qquad (\sin u)' = u'\cos u \\ \big(f(ax+b)\big)' &= a\,f'(ax+b) \end{aligned}\]

Le graphique ci-dessous montre \(y = \sin(ax)\) et sa dérivée \(y = a\cos(ax)\). Fais varier \(a\) : plus \(a\) est grand, plus la courbe ondule vite, et plus la dérivée devient grande. C'est le facteur \(u'(x) = a\) de la formule.

Exemples résolus

Exemple 1. Dériver \(f(x) = (3x^2+1)^4\) sur \(\mathbb{R}\). Cherche d'abord, puis dévoile les étapes.

On pose \(u(x) = 3x^2+1\), donc \(u'(x) = 6x\). La fonction est de la forme \(u^4\).

Formule : \((u^4)' = 4\,u'\,u^{3}\).

\(f'(x) = 4 \times 6x \times (3x^2+1)^3 = 24x\,(3x^2+1)^3\).

Exemple 2. Dériver \(f(x) = \sqrt{x^2+5}\) sur \(\mathbb{R}\).

On pose \(u(x) = x^2+5\) ; \(u(x) > 0\) pour tout réel \(x\), et \(u'(x) = 2x\).

Formule : \(\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\).

\(f'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+5}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+5}}\).

Exemple 3. Dériver \(f(x) = \cos(3x-1)\) et \(h(x) = \ln(x^2+1)\) sur \(\mathbb{R}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

Pour \(f\) : \(u(x) = 3x-1\), \(u'(x) = 3\), donc \(f'(x) = -3\sin(3x-1)\).

Pour \(h\) : \(u(x) = x^2+1 > 0\), \(u'(x) = 2x\), donc \(h'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\).

Quelle est la dérivée de \(f(x) = (2x+1)^5\) ?

\(5(2x+1)^4\)
\(10(2x+1)^4\)
\(10(2x+1)^5\)

Avec \(u(x) = 2x+1\) et \(u'(x) = 2\) : \(f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4\).

Quelle est la dérivée de \(g(x) = e^{3x^2}\) ?

\(6x\,e^{3x^2}\)
\(e^{3x^2}\)
\(3x^2\,e^{3x^2-1}\)

\(\big(e^{u}\big)' = u'\,e^{u}\) avec \(u(x) = 3x^2\), donc \(u'(x) = 6x\) et \(g'(x) = 6x\,e^{3x^2}\).

3. Dérivée seconde

Définition

Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si sa dérivée \(f'\) est elle-même dérivable sur \(I\), la dérivée de \(f'\) s'appelle la dérivée seconde de \(f\), notée \(f''\) :

\[f'' = (f')'.\]

Exemple résolu

Exemple 4. Calculer \(f''\) pour \(f(x) = e^{-x^2}\). Cherche d'abord.

Dérivée première (composée) : \(f'(x) = -2x\,e^{-x^2}\).

\(f'\) est un produit \(v \times w\) avec \(v(x) = -2x\), \(v'(x) = -2\), \(w(x) = e^{-x^2}\), \(w'(x) = -2x\,e^{-x^2}\).

\(f''(x) = -2\,e^{-x^2} + (-2x)(-2x)\,e^{-x^2} = (4x^2-2)\,e^{-x^2}\).

Pour \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\), que vaut \(f''(x)\) ?

\(3x^2 - 6x\)
\(6x\)
\(6x - 6\)

\(f'(x) = 3x^2 - 6x\), puis on dérive encore : \(f''(x) = 6x - 6\).

4. Convexité et point d'inflexion

Définitions et théorème

\(f\) est convexe sur \(I\) si sa courbe est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur \(I\).
\(f\) est concave sur \(I\) si sa courbe est située au-dessous de chacune de ses tangentes sur \(I\).

Si \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\) :

\[\begin{aligned} f \text{ est convexe sur } I &\iff f' \text{ est croissante sur } I \iff f''(x) \geqslant 0 \text{ pour tout } x \in I, \\ f \text{ est concave sur } I &\iff f' \text{ est décroissante sur } I \iff f''(x) \leqslant 0 \text{ pour tout } x \in I. \end{aligned}\]

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la convexité change. Si \(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a\), alors le point \(A\big(a\,;\,f(a)\big)\) est un point d'inflexion.

Exemple résolu

Exemple 5. Étudier la convexité de \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) sur \(\mathbb{R}\). Observe d'abord la courbe de \(f\) et celle de \(f''\) ci-dessous.

\(f'(x) = 3x^2 - 6x\) et \(f''(x) = 6x - 6 = 6(x-1)\).

Signe de \(f''\) : \(f''(x) \leqslant 0\) pour \(x \leqslant 1\) et \(f''(x) \geqslant 0\) pour \(x \geqslant 1\).

Donc \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;\,1]\) et convexe sur \([1\,;\,+\infty[\).

\(f''\) s'annule en changeant de signe en 1, et \(f(1) = 1 - 3 + 1 = -1\) : le point \(A(1\,;\,-1)\) est un point d'inflexion.

Exemple 6. En utilisant l'exemple 4, étudier la convexité de \(f(x) = e^{-x^2}\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\(f''(x) = (4x^2-2)\,e^{-x^2}\). Comme \(e^{-x^2} > 0\), \(f''(x)\) a le signe de \(4x^2 - 2\), qui s'annule pour \(x^2 = \dfrac{1}{2}\), soit \(x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

\(4x^2-2\) est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc \(f\) est convexe sur \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\) et sur \(\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,+\infty\right[\), et concave sur \(\left[-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\).

La courbe (en forme de cloche) a deux points d'inflexion, d'abscisses \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

On sait que \(f''(x) = 6x - 6\). Sur quel intervalle \(f\) est-elle convexe ?

\(]-\infty\,;\,1]\)
\([1\,;\,+\infty[\)
\(\mathbb{R}\)

\(f\) est convexe là où \(f''(x) \geqslant 0\), c'est-à-dire \(6x - 6 \geqslant 0\), soit \(x \geqslant 1\).

Une fonction vérifie \(f''(2) = 0\). Peut-on affirmer que la courbe a un point d'inflexion d'abscisse 2 ?

Non, il faut aussi que \(f''\) change de signe en 2.
Oui, toujours.
Oui, seulement si \(f'(2) = 0\).

L'annulation de \(f''\) ne suffit pas (voir \(x^4\) en 0) : c'est le changement de signe de \(f''\) qui traduit le changement de convexité.

Erreurs fréquentes

Oublier le facteur \(u'\) dans la dérivée d'une composée : \(\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\), pas \(\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\).
Calculer \(g'\) en \(x\) au lieu de \(g'\) en \(u(x)\) : dans \((g \circ u)'(x) = u'(x)\,g'\big(u(x)\big)\), la dérivée de l'extérieur se calcule en l'intérieur.
Confondre le signe de \(f'\) (sens de variation) et le signe de \(f''\) (convexité).
Conclure à un point d'inflexion dès que \(f''(a) = 0\), sans vérifier le changement de signe.

Récapitulatif

\((g \circ u)'(x) = u'(x) \times g'\big(u(x)\big)\) : dérivée de l'intérieur fois dérivée de l'extérieur.
Cas usuels : \((u^n)' = n u' u^{n-1}\), \(\big(\sqrt{u}\big)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\), \(\big(e^{u}\big)' = u' e^{u}\), \((\ln u)' = \dfrac{u'}{u}\).
\(f'' = (f')'\) : la dérivée de la dérivée.
\(f'' \geqslant 0\) : convexe (courbe au-dessus des tangentes) ; \(f'' \leqslant 0\) : concave.
Point d'inflexion : \(f''\) s'annule en changeant de signe.

Fonction composée \(g \circ u\)

\(x \mapsto g\big(u(x)\big)\) : on applique \(u\), puis \(g\) au résultat.

Dérivée de \(g \circ u\)

\(u'(x) \times g'\big(u(x)\big)\)

\((u^n)'\), \(\big(e^{u}\big)'\), \((\ln u)'\)

\(n u' u^{n-1}\) ; \(u' e^{u}\) ; \(\dfrac{u'}{u}\)

Dérivée seconde

\(f'' = (f')'\) : elle mesure comment la pente change (comme une accélération).

Convexe / concave

Convexe : \(f'' \geqslant 0\), courbe au-dessus des tangentes. Concave : \(f'' \leqslant 0\), courbe au-dessous.

Point d'inflexion

Point où la courbe traverse sa tangente : \(f''\) s'annule en changeant de signe.