Introduction

La fonction exponentielle est une fonction importante en mathématiques, notée généralement \,\(f(x) = e^x\), où \(e pprox 2,718\). Elle possède une propriété unique concernant sa dérivée.

Propriété fondamentale

La dérivée de \\(f(x) = e^x\\) est elle-même :
\[ rac{d}{dx} e^x = e^x \]

Cela signifie que la courbe de \\(e^x\\) a la même pente en chaque point, ce qui en fait une fonction particulière appelée "fonction exponentielle".

Démonstration intuitive

Considérons la définition de la dérivée :

\[ f'(x) = \lim_{h o 0} rac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Pour \(f(x) = e^x\), on a :

\[ f'(x) = \lim_{h o 0} rac{e^{x+h} - e^x}{h} = \lim_{h o 0} rac{e^x \cdot e^{h} - e^x}{h} \]

Factorisant \(e^x\) :

\[ f'(x) = e^x \lim_{h o 0} rac{e^{h} - 1}{h} \]

Il reste à connaître la limite :

\[ L = \lim_{h o 0} rac{e^{h} - 1}{h} \]

Cette limite vaut 1, car la définition de \(e\) implique précisément cette propriété :

\[ \lim_{h o 0} rac{e^{h} - 1}{h} = 1 \]

Donc :

\[ f'(x) = e^x imes 1 = e^x \]

Conclusion

La fonction exponentielle \(f(x) = e^x\) est unique par sa propriété de dérivée :
\(oxed{rac{d}{dx} e^x = e^x}\).

Cette propriété est fondamentale en mathématiques, notamment pour résoudre des équations différentielles et modéliser des phénomènes exponentiels.