Dérivée et variations : lire la pente d'une fonction pour trouver ses sommets et ses creux

La dérivée mesure la pente de la courbe en chaque point : quand elle est positive la fonction monte, quand elle est négative elle descend, et là où elle s'annule en changeant de signe se trouvent les maximums et minimums.

Objectifs

Définir le nombre dérivé comme limite d'un taux d'accroissement.
Interpréter le nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente et écrire l'équation de la tangente.
Calculer des dérivées avec les formules usuelles et les opérations.
Déduire le sens de variation d'une fonction du signe de sa dérivée et dresser un tableau de variations.
Déterminer les extremums locaux et résoudre un problème d'optimisation.

1. Le nombre dérivé

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). Pour \(h \neq 0\) tel que \(a+h \in I\), le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) est

\[ \tau(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]

C'est la pente de la droite (sécante) qui passe par les points \(A(a\,;f(a))\) et \(M(a+h\,;f(a+h))\).

Exemple résolu 1 : nombre dérivé de \(f(x)=x^2\) en \(a=3\)

Cherche d'abord, puis déroule les étapes.

On calcule \(f(3+h) = (3+h)^2 = 9 + 6h + h^2\) et \(f(3)=9\).

Taux d'accroissement : \(\tau(h) = \dfrac{9+6h+h^2-9}{h} = \dfrac{6h+h^2}{h} = 6+h\) (pour \(h \neq 0\)).

Quand \(h \to 0\), \(6+h \to 6\). Donc \(f\) est dérivable en 3 et \(f'(3)=6\).

Pour \(f(x)=x^2\), le taux d'accroissement entre 1 et \(1+h\) est \(2+h\). Que vaut \(f'(1)\) ?

Quand \(h\) tend vers 0, \(2+h\) tend vers 2 : donc \(f'(1)=2\).

2. Interprétation géométrique : la tangente

Quand \(h\) tend vers 0, le point \(M\) se rapproche de \(A\) et la sécante \((AM)\) tend vers une droite limite : la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point \(A\). Son coefficient directeur est \(f'(a)\).

Fais bouger le curseur \(a\) : la droite reste tangente à la parabole \(y=x^2\) au point d'abscisse \(a\). Observe que sa pente vaut \(2a\) : négative à gauche de 0, nulle en 0, positive à droite.

Exemple résolu 2 : tangente à \(y=x^2\) au point d'abscisse 3

Voir la solution

On a \(f(3)=9\) et \(f'(3)=6\) (exemple 1). La tangente a pour équation

\[ y = 6(x-3)+9 = 6x-9. \]

Vérification : en \(x=3\), \(6 \times 3 - 9 = 9 = f(3)\). La droite passe bien par le point de contact.

Si \(f(2)=5\) et \(f'(2)=-1\), quelle est l'équation de la tangente au point d'abscisse 2 ?

\(y=5x-1\)
\(y=-x+5\)
\(y=-x+7\)

\(y = -1 \times (x-2) + 5 = -x + 2 + 5 = -x + 7\).

3. Calculer une dérivée

Si \(f\) est dérivable en tout point de \(I\), la fonction \(x \mapsto f'(x)\) est la fonction dérivée de \(f\).

Fonction \(f(x)\)	Dérivée \(f'(x)\)	Validité
\(k\) (constante)	\(0\)	\(\mathbb{R}\)
\(x\)	\(1\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\) (\(n\) entier, \(n \geq 1\))	\(n\,x^{n-1}\)	\(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)	\(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(]0;+\infty[\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)	\(\mathbb{R}\)

Opérations (\(u\) et \(v\) dérivables, \(k\) réel) :

\[ (u+v)' = u'+v' \qquad (ku)' = k\,u' \qquad (uv)' = u'v + uv' \] \[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2} \ (v \neq 0) \qquad (u^n)' = n\,u'\,u^{n-1} \qquad \big(f(ax+b)\big)' = a\,f'(ax+b) \]

Exemple résolu 3

Calcule la dérivée de \(g(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}\) sur \(]3;+\infty[\).

On pose \(u(x)=2x+1\), donc \(u'(x)=2\) ; et \(v(x)=x-3\), donc \(v'(x)=1\).

\(g'(x) = \dfrac{2(x-3) - (2x+1)\times 1}{(x-3)^2} = \dfrac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2}\).

\(g'(x) = \dfrac{-7}{(x-3)^2}\), qui est strictement négatif : \(g\) est décroissante sur \(]3;+\infty[\).

Quelle est la dérivée de \(f(x) = (2x+1)^3\) ?

\(3(2x+1)^2\)
\(6(2x+1)^2\)
\(6(2x+1)\)

Avec \((u^n)' = n\,u'\,u^{n-1}\), \(u=2x+1\), \(u'=2\), \(n=3\) : \(3 \times 2 \times (2x+1)^2 = 6(2x+1)^2\).

4. Signe de la dérivée et sens de variation

La méthode complète :

flowchart LR
A[Domaine de f] --> B[Calcul de la derivee]
B --> C[Signe de la derivee]
C --> D[Tableau de variations]
D --> E[Extremums et images]

Exemple résolu 4 : étude de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\)

Dérivée : \(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1) = 3(x-1)(x+1)\).

Signe : \(f'(x)\) s'annule en \(-1\) et en \(1\). Un trinôme du second degré de coefficient \(3 > 0\) est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles : \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty;-1[\) et sur \(]1;+\infty[\), \(f'(x) < 0\) sur \(]-1;1[\).

Images : \(f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3\) et \(f(1) = 1 - 3 + 1 = -1\).

Conclusion : \(f\) est croissante sur \(]-\infty;-1]\), décroissante sur \([-1;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\). Elle admet un maximum local 3 en \(-1\) et un minimum local \(-1\) en 1.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(+\infty\)
Signe de \(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
Variations de \(f\)		croissante	\(3\)	décroissante	\(-1\)	croissante

Sur l'intervalle \(]2;5[\), on sait que \(f'(x) < 0\). Que peut-on dire de \(f\) sur cet intervalle ?

Elle est strictement décroissante.
Elle est strictement croissante.
Elle est négative.

Le signe de la dérivée donne le sens de variation, pas le signe de la fonction : \(f'\) négative signifie que \(f\) décroît.

5. Extremums locaux et optimisation

Exemple résolu 5 : l'enclos le plus grand

Moussa dispose de 40 m de grillage. Il adosse son enclos rectangulaire à un mur : il ne clôture que trois côtés. On note \(x\) (en m) la longueur des deux côtés perpendiculaires au mur. Quelle valeur de \(x\) donne la plus grande aire ?

Voir la solution

Le côté parallèle au mur mesure \(40-2x\), avec \(0 < x < 20\). L'aire est

\[ A(x) = x(40-2x) = 40x - 2x^2. \] \[ A'(x) = 40 - 4x, \qquad A'(x) = 0 \iff x = 10. \]

\(A'(x) > 0\) sur \(]0;10[\) et \(A'(x) < 0\) sur \(]10;20[\) : \(A\) croît puis décroît, elle atteint son maximum en \(x=10\).

\[ A(10) = 10 \times (40 - 20) = 200. \]

L'enclos optimal mesure 10 m sur 20 m, pour une aire de 200 m².

On sait que \(f'(4)=0\). Que peut-on affirmer ?

\(f\) admet toujours un extremum en 4.
\(f\) admet un extremum local en 4 seulement si \(f'\) change de signe en 4.
\(f\) est constante.

L'annulation seule ne suffit pas (contre-exemple \(x^3\) en 0) : il faut que la dérivée change de signe.

Erreurs fréquentes

Confondre le signe de \(f'\) et le signe de \(f\) : \(f'\) dit si la courbe monte ou descend, pas si elle est au-dessus de l'axe.
Appliquer le théorème des variations sur une réunion d'intervalles : \(\frac{1}{x}\) est décroissante sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]0;+\infty[\), mais pas sur \(\mathbb{R}^*\) (\(-1 < 1\) et \(\frac{1}{-1} < \frac{1}{1}\)).
Oublier le facteur \(a\) dans \((f(ax+b))'\), ou le facteur \(u'\) dans \((u^n)'\).
Écrire l'équation de la tangente avec \(f'(x)\) au lieu de \(f'(a)\) : le coefficient directeur est un nombre.
Conclure à un extremum dès que \(f'(a)=0\) sans vérifier le changement de signe.
Oublier, en optimisation, l'intervalle des valeurs possibles de \(x\) (ici \(0 < x < 20\)).

Récapitulatif

\(f'(a) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) : le nombre dérivé est la limite du taux d'accroissement.
Tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x-a)+f(a)\).
Sur un intervalle : \(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante, \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante, \(f' = 0 \Rightarrow f\) constante.
Extremum local en \(a\) : \(f'(a)=0\) et changement de signe de \(f'\).
Optimisation : modéliser par une fonction, préciser l'intervalle, étudier les variations, conclure avec l'unité.

Nombre dérivé

Limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0 ; pente de la tangente.

Équation de la tangente en a

y = f'(a)(x − a) + f(a)

Dérivée d'un quotient u/v

(u'v − uv') / v²

Signe de f' et variations

f' positive : f croissante ; f' négative : f décroissante (sur un intervalle).

Extremum local

f' s'annule en changeant de signe : de + à − maximum, de − à + minimum.