Dérivée et variations : la méthode complète, de la tangente à l'optimisation

Classe de Terminale · Mathématiques · Thème : fonctions numériques

Le signe de la dérivée dit si la fonction monte ou descend : on l'étudie pour dresser le tableau de variations, trouver les extremums et résoudre des problèmes d'optimisation.

Objectifs

Calculer un nombre dérivé à partir du taux d'accroissement.
Écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point.
Relier le signe de \(f'\) au sens de variation de \(f\) et dresser un tableau de variations.
Déterminer les extremums locaux et résoudre un problème d'optimisation concret.

1. Nombre dérivé et tangente

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) contenant \(a\). Le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) (avec \(h \neq 0\)) est

\[ \tau(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]

Si \(\tau(h)\) admet une limite finie \(\ell\) quand \(h\) tend vers 0, on dit que \(f\) est dérivable en \(a\) et on note \(f'(a) = \ell\) :

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]

Interprétation géométrique

\(f'(a)\) est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\). L'équation de cette tangente est

\[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]

Exemple résolu 1 : nombre dérivé par la définition

Soit \(f(x) = x^2\). Calculer \(f'(3)\) avec le taux d'accroissement, puis donner la tangente en 3.

Voir la solution

\[ \begin{align} \tau(h) &= \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{h(6+h)}{h} = 6 + h \\ f'(3) &= \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6 \end{align} \]

Comme \(f(3) = 9\), la tangente a pour équation \(y = 6(x-3) + 9\), soit \(y = 6x - 9\).

Rappel : dérivées usuelles et opérations

Fonction	Dérivée
\(x^n\) (\(n\) entier \(\geq 1\))	\(n x^{n-1}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\) (sur \(]0;+\infty[\))	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(\ln x\) (sur \(]0;+\infty[\))	\(\dfrac{1}{x}\)
\(u v\)	\(u'v + uv'\)
\(\dfrac{u}{v}\)	\(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
\(u(ax+b)\)	\(a\,u'(ax+b)\)

Faites bouger le point de contact : la tangente à la parabole \(y = x^2\) au point d'abscisse \(a\) a pour équation \(y = 2a x - a^2\).

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de \(g(x) = x^2\) au point d'abscisse 1 ?

\(y = 2x + 1\)
\(y = 2x - 1\)
\(y = x - 1\)

\(g'(1) = 2\) et \(g(1) = 1\), donc \(y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1\).

2. Signe de la dérivée et sens de variation

Théorème

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).

Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x\) de \(I\) (sauf éventuellement en des points isolés où elle s'annule), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x\) de \(I\) (même remarque), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\) de \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).

Méthode en quatre étapes

flowchart LR
A[Domaine de f] --> B[Calcul de f prime]
B --> C[Signe de f prime]
C --> D[Tableau de variations]
D --> E[Extremums]

Exemple résolu 2 : étude complète d'un polynôme

Étudier les variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).

Étape 1 : dérivée. \(f\) est un polynôme, dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \[ f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1). \]

Étape 2 : signe. \(f'(x)\) est un trinôme de coefficient \(3 > 0\), de racines \(-1\) et \(1\) : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Donc \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\) et \(f'(x) < 0\) sur \(]-1;1[\).

Étape 3 : valeurs remarquables. \[ f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3, \qquad f(1) = 1 - 3 + 1 = -1. \]

Étape 4 : tableau de variations.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f\)		croissante ↗	\(3\)	décroissante ↘	\(-1\)	croissante ↗

\(f\) admet un maximum local égal à 3 en \(x = -1\) et un minimum local égal à \(-1\) en \(x = 1\).

Soit \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f'(x) < 0\) sur \(]-\infty;2[\) et \(f'(x) > 0\) sur \(]2;+\infty[\). Que peut-on dire de \(f\) en \(x = 2\) ?

\(f\) admet un maximum local en 2.
\(f\) n'a pas d'extremum en 2.
\(f\) admet un minimum local en 2.

\(f\) décroît puis croît : la valeur \(f(2)\) est la plus petite au voisinage de 2, c'est un minimum local.

3. Extremums locaux

Théorème

Soit \(f\) dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et \(a \in I\).

Si \(f\) admet un extremum local en \(a\), alors \(f'(a) = 0\) (la tangente est horizontale).
Réciproquement, si \(f'\) s'annule en changeant de signe en \(a\), alors \(f\) admet un extremum local en \(a\) : un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si elle passe de \(-\) à \(+\).

Exemple résolu 3 : fonction avec un quotient

Soit \(g(x) = x + \dfrac{4}{x}\) sur \(]0;+\infty[\). Montrer que \(g\) admet un minimum et le calculer.

Voir la solution

\[ g'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x^2}. \]

Sur \(]0;+\infty[\), \(x^2 > 0\) et \(x + 2 > 0\) : le signe de \(g'(x)\) est celui de \(x - 2\). Donc \(g' < 0\) sur \(]0;2[\) et \(g' > 0\) sur \(]2;+\infty[\). La fonction \(g\) décroît puis croît : elle admet un minimum en \(x = 2\), égal à

\[ g(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4. \]

Conséquence : pour tout \(x > 0\), \(x + \dfrac{4}{x} \geq 4\).

Pour \(f(x) = x^3\), on a \(f'(0) = 0\). Que peut-on en conclure ?

Rien de plus : la tangente en 0 est horizontale mais \(f\) n'a pas d'extremum en 0.
\(f\) admet un maximum local en 0.
\(f\) admet un minimum local en 0.

\(f'(x) = 3x^2 \geq 0\) ne change pas de signe en 0 : \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\), il n'y a pas d'extremum.

4. Optimisation : un problème concret

Exemple résolu 4 : la boîte de volume maximal

Modéliser. Le fond est un carré de côté \(60 - 2x\), la hauteur vaut \(x\). Il faut \(0 < x < 30\). Le volume est \[ V(x) = x(60 - 2x)^2. \]

Dériver (forme \(uv\) avec \(u = x\), \(v = (60-2x)^2\), \(v' = 2 \times (-2)(60-2x) = -4(60-2x)\)) : \[ \begin{align} V'(x) &= (60-2x)^2 - 4x(60-2x) \\ &= (60-2x)\big[(60-2x) - 4x\big] \\ &= (60-2x)(60-6x). \end{align} \]

Étudier le signe. Sur \(]0;30[\), \(60 - 2x > 0\). Le signe de \(V'\) est celui de \(60 - 6x\) : positif pour \(x < 10\), négatif pour \(x > 10\). \(V\) croît sur \(]0;10]\) puis décroît sur \([10;30[\).

Conclure. Le volume est maximal pour \(x = 10\) cm : \[ V(10) = 10 \times 40^2 = 16\,000 \text{ cm}^3, \] soit 16 litres. Moussa doit découper des carrés de 10 cm.

Une commerçante de Lomé estime son bénéfice quotidien par \(B(x) = -2x^2 + 80x - 300\) (en centaines de F CFA), où \(x\) est le nombre de pagnes vendus. Pour quelle valeur de \(x\) le bénéfice est-il maximal ?

\(x = 40\)
\(x = 20\)
\(x = 80\)

\(B'(x) = -4x + 80\) s'annule en \(x = 20\), positive avant et négative après : le bénéfice est maximal pour 20 pagnes.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) est la pente de la tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\).
\(f' > 0\) : \(f\) croissante ; \(f' < 0\) : \(f\) décroissante ; \(f' = 0\) sur un intervalle : \(f\) constante.
Extremum local en \(a\) : \(f'\) s'annule et change de signe en \(a\).
Optimiser : modéliser, préciser l'intervalle, dériver, étudier le signe, conclure dans le contexte.

Nombre dérivé \(f'(a)\)

Limite du taux d'accroissement \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand \(h \to 0\).

Équation de la tangente en \(a\)

\(y = f'(a)(x-a) + f(a)\)

Lien dérivée et variations

\(f' > 0\) sur \(I\) : \(f\) croissante ; \(f' < 0\) : \(f\) décroissante.

Extremum local

\(f'\) s'annule en changeant de signe : de + à − maximum, de − à + minimum.

Optimisation

Modéliser, fixer l'intervalle, étudier le signe de la dérivée, conclure.