Dérivées et taux de variation en contexte
Dérivées et taux de variation en contexte
Comprendre comment la dérivée traduit le taux de variation d'une grandeur en contexte réel.
Objectifs
- Comprendre la notion de taux de variation à partir d'une situation concrète.
- Associer une dérivée à un taux de variation instantané.
- Interpréter la dérivée dans un contexte physique ou économique.
Notions clés
Exemple résolu : vitesse d'une voiture
La position d'une voiture sur une trajectoire est donnée par la fonction \(s(t) = 50 + 10t\), où \(s(t)\) est en mètres et \(t\) en secondes.
1. Calculer la vitesse moyenne entre \(t=0\) et \(t=5\).
2. Déterminer la vitesse instantanée à \(t=5\).
Voir la solution détaillée
On a : \[ \begin{align*} \text{Vitesse moyenne} &= \frac{s(5) - s(0)}{5 - 0} \\n &= \frac{(50 + 10 \times 5) - 50}{5} \\n &= \frac{100 - 50}{5} = 10 \text{ m/s}. \end{align*} \] Quant à la vitesse instantanée, c'est la dérivée de la fonction, qui est constante ici : \[ s'(t) = 10. \] Elle reste donc constante à chaque instant, en particulier en \(t=5\).
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre la variation moyenne (\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)) et la dérivée (\(\frac{dy}{dx}\)).
- Utiliser une formule de dérivée incorrecte si la fonction est mal identifiée.
- Interpréter la dérivée comme une vitesse ou un taux sans préciser le contexte.
Récapitulatif
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