Comprendre comment la dérivée permet d'analyser un taux de variation en contexte réel.

Dérivées et taux de variation en contexte

Objectifs

Comprendre la notion de taux de variation instantané.
Savoir relier la dérivée d'une fonction à une variation instantanée dans un contexte concret.
Appliquer le calcul différentiel à des situations de la vie courante.

Notions clés

Exemples résolus

Exemple 1 : vitesse d'une voiture

La position d'une voiture sur une route est donnée par la fonction \(s(t) = 50 + 10t \) hvor \(s(t)\) est en km et \(t\) en heures.

Quiz : Quelle est la vitesse instantanée à \(t=2\) heures ?

Choisissez la bonne réponse :

10 km/h
50 km/h
60 km/h

La vitesse instantanée correspond à la dérivée de \(s(t)\). On calcule \(s'(t) = \frac{d}{dt}(50+10t) = 10\). Donc, à \(t=2\), la vitesse est de 10 km/h.

Exemple 2 : croissance d'une population

La population \(P(t)\) (en milliers) d'une ville évolue selon \(P(t) = 1000 e^{0,03t}\), avec \(t\) en années.

Calculez le taux de croissance instantané à \(t=5\) ans.

Voir la solution

Calculer la dérivée : \(P'(t) = 1000 \times 0,03 \times e^{0,03t} = 30 e^{0,03t}\).

Évaluer en \(t=5\) : \(P'(5) = 30 e^{0,15} \approx 30 \times 1,1618 \approx 34,85\).

Donc, à \(t=5\) ans, la population augmente d'environ \(34,85\) milliers par an.

Erreurs fréquentes

Confondre variation moyenne et instantanée.
Oublier de prendre la limite lors du calcul de la dérivée.
Interpréter la dérivée hors contexte, comme une vitesse ou un taux sauf si précisé.

Résumé

La dérivée d'une fonction en un point mesure la rapidité du changement de la grandeur modélisée. Elle relie la mathématique à de nombreuses situations concrètes, comme la vitesse ou la croissance.

Carte mémo

Taux de variation instantané

Vitesse de changement à un instant précis, donnée par la dérivée en ce point.

Dérivée

Limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle tend vers zéro.

Expression

\(f'\(a\) = \lim_{h \to 0} \frac{f\(a+h\) - f\(a\)}{h}\)