Objectifs

• Savoir définir la dérivée en contexte.
• Interpréter la dérivée comme un taux de variation instantané.
• Appliquer la notion de dérivée à des situations concrètes.

Notions clés

• Dérivée d'une fonction : La pente de la tangente à la courbe en un point, notée \(f'\(x\)\).
• Taux de variation : La variation relative de la quantité en fonction du changement de la variable.
• Formule : \[ f'\(x\) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
• Interprétation : La dérivée mesure la rapidité du changement de la grandeur en un point précis.

Exemple résolu : vitesse instantanée d'une voiture

Considérons la distance parcourue par une voiture en fonction du temps :

La fonction est \( s(t) = 5t^2 \) (en km si t en heures).

On souhaite connaître la vitesse instantanée en \( t = 2 \) heures.

Calcul de la dérivée

На̀ = 5 t^2
f'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t+h) - f(t)}{h} 

\[f'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{5 (t+h)^2 - 5 t^2}{h} \]

\[ = \lim_{h \to 0} \frac{5 (t^2 + 2 t h + h^2) - 5 t^2}{h} \]

\[= \lim_{h \to 0} \frac{5 t^2 + 10 t h + 5 h^2 - 5 t^2}{h} \]

\[= \lim_{h \to 0} \frac{10 t h + 5 h^2}{h} \]

\[= \lim_{h \to 0} \left(10 t + 5 h \right) \]

\[= 10 t \]

Donc, la vitesse instantanée en \( t=2 \) heures est :

Erreur fréquente

Résumé

• La dérivée \(f'\(x\)\) représente le taux de variation instantané.
• Elle se calcule par la limite du taux de variation moyen lorsque \( h \) tend vers 0.
• Elle s'applique à des contextes tels que la physique, l'économie, la biologie, etc.

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