Objectifs

• Calculer le déterminant de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées dans une base.
• Utiliser le déterminant pour savoir si deux vecteurs sont colinéaires.
• En déduire si trois points sont alignés ou si deux droites sont parallèles.
• Trouver une coordonnée inconnue pour que deux vecteurs soient colinéaires.

1. Rappel : coordonnées d'un vecteur dans une base

Une base du plan est un couple de deux vecteurs non colinéaires \((\vec{i}, \vec{j})\). Tout vecteur \(\vec{u}\) du plan s'écrit d'une seule façon :

On dit que \(\vec{u}\) a pour coordonnées \((x\,;\,y)\) dans la base \((\vec{i}, \vec{j})\), et on note \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\).

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

2. Le déterminant de deux vecteurs

Définition. Dans une base \((\vec{i}, \vec{j})\), soient \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\). Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel :

On écrit les coordonnées en colonnes, côte à côte, puis on fait « diagonale descendante moins diagonale montante ».

Théorème (critère de colinéarité)

Pourquoi ? Si \(\vec{v} = k\,\vec{u}\), alors \(x' = kx\) et \(y' = ky\), donc \(x\,y' - x'\,y = x(ky) - (kx)y = 0\). Réciproquement, un déterminant nul traduit que les coordonnées sont proportionnelles.

Quelques propriétés utiles

• \(\det(\vec{v}, \vec{u}) = -\det(\vec{u}, \vec{v})\) : échanger les vecteurs change le signe.
• \(\det(\vec{u}, \vec{u}) = 0\) : un vecteur est colinéaire à lui-même.
• \(\det(k\,\vec{u}, \vec{v}) = k \det(\vec{u}, \vec{v})\) pour tout réel \(k\).

Exemple résolu 1 : calculer un déterminant

Dans une base \((\vec{i}, \vec{j})\), on donne \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Calcule \(\det(\vec{u}, \vec{v})\). Les vecteurs sont-ils colinéaires ?

Exemple résolu 2 : vérifier une colinéarité

\(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) (ceux de la figure). Sont-ils colinéaires ?

3. Applications : alignement, parallélisme, paramètre

Exemple résolu 3 : trois points alignés ?

On donne \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(7\,;\,11)\). Les points sont-ils alignés ?

Exemple résolu 4 : droites parallèles ?

\(A(0\,;\,1)\), \(B(2\,;\,4)\), \(C(-1\,;\,0)\), \(D(3\,;\,5)\). Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ?

Exemple résolu 5 : trouver un paramètre

Pour quelle valeur du réel \(m\) les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ?

4. Erreurs fréquentes

• Mélanger les produits : écrire \(x\,x' - y\,y'\) au lieu de \(x\,y' - x'\,y\). Pense « en croix ».
• Se tromper dans les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : c'est « arrivée moins départ », \(x_B - x_A\), et pas \(x_A - x_B\).
• Conclure trop vite : un déterminant non nul prouve que les vecteurs ne sont pas colinéaires ; seul un déterminant égal à \(0\) prouve la colinéarité.
• Oublier que l'ordre compte : \(\det(\vec{v}, \vec{u})\) est l'opposé de \(\det(\vec{u}, \vec{v})\). Pour tester la colinéarité, cela ne change rien (\(0\) reste \(0\)), mais le résultat numérique change de signe.

5. Récapitulatif

• Dans une base, si \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\), alors \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = x\,y' - x'\,y\).
• \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff \det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\).
• \(A, B, C\) alignés \(\iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\).
• \((AB) \parallel (CD) \iff \det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\).