Objectifs

• Calculer le déterminant de deux vecteurs à partir de leurs coordonnées dans une base.
• Utiliser le critère : deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.
• En déduire si trois points sont alignés ou si deux droites sont parallèles.
• Trouver une valeur inconnue pour que deux vecteurs soient colinéaires.

1. Rappels : base et coordonnées d'un vecteur

Une base du plan est un couple de vecteurs non colinéaires \((\vec{i}, \vec{j})\). Tout vecteur \(\vec{u}\) s'écrit de façon unique \(\vec{u} = x\,\vec{i} + y\,\vec{j}\) ; on note \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) ou \(\vec{u}(x\,;\,y)\).

Si \(A(x_A\,;\,y_A)\) et \(B(x_B\,;\,y_B)\) dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), alors \(\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).

Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires lorsque l'un est un multiple de l'autre : il existe un réel \(k\) tel que \(\vec{v} = k\,\vec{u}\) (ou \(\vec{u} = \vec{0}\)). Ils ont alors la même direction.

2. Définition du déterminant

Soit \(\vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}\) dans une base \((\vec{i}, \vec{j})\). Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dans cette base est le nombre :

On écrit les coordonnées de \(\vec{u}\) dans la première colonne, celles de \(\vec{v}\) dans la deuxième, puis on fait « diagonale descendante moins diagonale montante ».

Exemple : \(\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}\) : \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 3 \times 5 - 2 \times (-1) = 15 + 2 = 17\).

Exemple résolu

Calculer \(\det(\vec{u}, \vec{v})\) pour \(\vec{u}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Cherche d'abord.

3. Critère de colinéarité

Exemple : \(\vec{u}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\) : \(\det(\vec{u}, \vec{v}) = 2 \times 6 - 4 \times 3 = 12 - 12 = 0\). Ils sont colinéaires (en effet \(\vec{v} = 2\,\vec{u}\)).

Exemple résolu : trouver une valeur inconnue

Pour quelle valeur du réel \(m\) les vecteurs \(\vec{u}\begin{pmatrix} m \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\) sont-ils colinéaires ?

4. Applications : alignement et parallélisme

• Points alignés : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\).
• Droites parallèles : \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 0\).

flowchart LR
  A[Coordonnees des points] --> B[Coordonnees des vecteurs]
  B --> C[Calcul du determinant]
  C --> D{Determinant nul}
  D -->|oui| E[Colineaires donc alignes ou paralleles]
  D -->|non| F[Pas colineaires]

Exemple résolu : alignement

Les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,5)\) et \(C(7\,;\,11)\) sont-ils alignés ?

Exemple résolu : parallélisme

Avec \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(-2\,;\,0)\) et \(D(4\,;\,4)\), les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ? Cherche d'abord.

Erreurs fréquentes

• Calculer \(x\,x' - y\,y'\) au lieu de \(x\,y' - x'\,y\) : on multiplie en croix, pas ligne par ligne.
• Oublier les parenthèses autour des coordonnées négatives : \(3 \times (-2)\), pas \(3 \times -2\) mal recopié.
• Se tromper dans les coordonnées d'un vecteur : c'est toujours « arrivée moins départ », \(x_B - x_A\).
• Conclure à l'alignement avec \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) : pour l'alignement, les deux vecteurs doivent partir d'un point commun, par exemple \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

Récapitulatif

Pour \(\vec{u}(x\,;\,y)\) et \(\vec{v}(x'\,;\,y')\) dans une base \((\vec{i}, \vec{j})\) :