Objectifs

• Comprendre d'où vient la formule du déterminant (proportionnalité des coordonnées).
• Calculer \(\det(\vec u,\vec v)\) à partir des coordonnées dans une base \((\vec i,\vec j)\).
• Utiliser le critère : \(\vec u\) et \(\vec v\) colinéaires \(\iff \det(\vec u,\vec v)=0\).
• Démontrer que trois points sont alignés, ou que deux droites sont parallèles.
• Trouver un paramètre inconnu et écrire une équation de droite grâce au déterminant.

Notions clés, étape par étape

Étape 1 : rappels sur les coordonnées et la colinéarité

Le plan est muni d'une base \((\vec i,\vec j)\). Dire que \(\vec u\) a pour coordonnées \((x\,;y)\) signifie \(\vec u = x\vec i + y\vec j\). Pour deux points \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) :

Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires s'il existe un réel \(k\) tel que \(\vec v = k\vec u\) (ou si \(\vec u = \vec 0\)). Graphiquement, ils ont la même direction.

Étape 2 : observer des vecteurs colinéaires

Prenons \(\vec u(2\,;1)\) et \(\vec v(4\,;2)\) : on a \(\vec v = 2\vec u\), ils sont colinéaires. Le vecteur \(\vec w(1\,;3)\), lui, n'a pas la même direction.

Plaçons les coordonnées dans un tableau. Pour \(\vec u\) et \(\vec v\), le produit en croix est égal : \(2\times 2 = 4\times 1\), soit \(2\times2-4\times1=0\). Pour \(\vec u\) et \(\vec w\) : \(2\times 3-1\times 1 = 5 \neq 0\). C'est ce nombre « produit en croix moins produit en croix » qu'on appelle le déterminant.

Étape 3 : la définition

On écrit les coordonnées en colonnes (\(\vec u\) à gauche, \(\vec v\) à droite), puis on calcule « diagonale descendante moins diagonale montante ».

Exemple : \(\vec u(3\,;5)\), \(\vec v(2\,;-1)\) :

Étape 4 : quelques propriétés

Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et tout réel \(k\) :

• \(\det(\vec v,\vec u) = -\det(\vec u,\vec v)\) : échanger l'ordre change le signe.
• \(\det(\vec u,\vec u)=0\) et \(\det(\vec u,\vec 0)=0\).
• \(\det(k\vec u,\vec v)=k\det(\vec u,\vec v)\).

Vérification de la première : \(\det(\vec v,\vec u)=x'y-xy' = -(xy'-x'y)\).

Étape 5 : le critère de colinéarité

Les deux grandes applications :

• Alignement : \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés \(\iff \overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).
• Parallélisme : \((AB)\parallel(CD) \iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\).

flowchart LR
  A[Calculer AB et AC] --> B[Calculer le determinant]
  B -->|egal a 0| C[Points alignes]
  B -->|different de 0| D[Points non alignes]

Exemples résolus

Exemple 1 : tester la colinéarité

\(\vec u(3\,;-2)\) et \(\vec v(-6\,;4)\) sont-ils colinéaires ?

Exemple 2 : les bornes du géomètre sont-elles alignées ?

Dans un repère, les bornes sont \(A(1\,;2)\), \(B(3\,;5)\) et \(C(7\,;11)\). Sont-elles alignées ?

Exemple 3 : trouver un paramètre

Pour quelle valeur du réel \(m\) les vecteurs \(\vec u(m\,;4)\) et \(\vec v(3\,;6)\) sont-ils colinéaires ? Cherche d'abord.

Exemple 4 : deux droites parallèles

Soit \(A(-1\,;1)\), \(B(2\,;3)\), \(C(0\,;-2)\), \(D(6\,;2)\). Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont-elles parallèles ? Sont-elles confondues ?

Exemple 5 : une équation de droite

Détermine une équation de la droite \((AB)\) avec \(A(1\,;2)\) et \(B(3\,;5)\).

Erreurs fréquentes

• Erreurs de signe avec les nombres négatifs : mets des parenthèses, par exemple \((-6)\times(-2)=12\).
• Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) à l'envers : c'est \(x_B-x_A\), « arrivée moins départ ».
• Conclure trop vite à l'alignement : \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\) prouve seulement que \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles. Pour un alignement, il faut deux vecteurs ayant un point commun, comme \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).
• Oublier que l'ordre compte pour le signe : \(\det(\vec v,\vec u)=-\det(\vec u,\vec v)\). Le signe ne change rien au test « nul ou non nul ».

Récapitulatif

• \(\vec u(x\,;y)\), \(\vec v(x'\,;y')\) : \(\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y\).
• \(\vec u\) et \(\vec v\) colinéaires \(\iff \det(\vec u,\vec v)=0\).
• \(A, B, C\) alignés \(\iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0\).
• \((AB)\parallel(CD) \iff \det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD})=0\).
• \(M\in(AB) \iff \det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\) : cela donne une équation de la droite.