Développer, réduire et factoriser de petites expressions

Développer, c'est distribuer un facteur à chaque terme d'une parenthèse ; réduire, c'est regrouper les termes de même famille ; factoriser, c'est faire le chemin inverse du développement en sortant le facteur commun.

Objectifs

Utiliser la distributivité : \(k\times(a+b)=k\times a+k\times b\) et \(k\times(a-b)=k\times a-k\times b\).
Développer une petite expression comme \(3(x+4)\).
Réduire une expression en regroupant les termes semblables.
Factoriser une expression simple comme \(6x+18\).
Se servir de la distributivité pour calculer mentalement.

1. Rappels : écrire une expression littérale

On peut supprimer le signe \(\times\) devant une lettre ou une parenthèse : \(3\times x=3x\), \(5\times(x+2)=5(x+2)\).
\(1x\) s'écrit \(x\), et \(x\times x\) s'écrit \(x^2\) (« \(x\) au carré »).
Une somme est une suite de termes reliés par \(+\) ou \(-\) ; un produit est une suite de facteurs reliés par \(\times\).

Comment écrire plus simplement \(4\times x+1\times y\) ?

\(4xy\)
\(4x+y\)
\(5xy\)

On supprime les signes \(\times\) devant les lettres et on n'écrit pas le facteur \(1\) : \(4x+y\). On ne peut pas « coller » \(x\) et \(y\), car ce sont deux termes séparés par un \(+\).

2. Développer : distribuer à chacun

Pourquoi est-ce vrai ? Regarde l'aire d'un rectangle découpé en deux.

On coupe la longueur x + 4 en deux morceaux : x et 4.

Chaque petit rectangle a pour aire 3 × x et 3 × 4.

L'aire totale est la même dans les deux écritures : 3(x + 4) = 3x + 12.

Exemples résolus

a) Développe \(A=5(2a-3)\). b) Développe \(B=x(x+7)\).

Cherche d'abord, puis vérifie

a) On distribue 5 : \(A=5\times 2a-5\times 3\).

On calcule : \(A=10a-15\).

b) On distribue \(x\) : \(B=x\times x+x\times 7=x^2+7x\).

Vérifie avec les curseurs : la courbe de \(a(x+b)\) et celle de \(ax+ab\) sont toujours exactement superposées, quelles que soient les valeurs de \(a\) et \(b\). Les deux écritures donnent le même résultat pour tout nombre \(x\).

Quel est le développement de \(4(y-2)\) ?

\(4y-2\)
\(4y+8\)
\(4y-8\)

On distribue 4 aux deux termes : \(4\times y-4\times 2=4y-8\).

3. Réduire : ranger les termes de même famille

Exemple résolu

Réduis \(C=3x+5+2x-1\).

Voir la solution

On regroupe les termes en \(x\) : \(3x+2x=5x\).

On regroupe les nombres : \(5-1=4\).

\(C=5x+4\).

Développer puis réduire

Développe et réduis \(D=2(x+3)+4x\).

Voir la solution

On développe : \(2(x+3)=2x+6\), donc \(D=2x+6+4x\).

On réduit : \(2x+4x=6x\), donc \(D=6x+6\).

Quelle est la forme réduite de \(6a+2-4a+3\) ?

\(2a+5\)
\(7a\)
\(10a+5\)

Termes en \(a\) : \(6a-4a=2a\). Nombres : \(2+3=5\). Donc \(2a+5\).

4. Factoriser : le chemin inverse

Exemples résolus

Factorise : a) \(E=6x+18\) ; b) \(F=7a-7b\) ; c) \(G=5x+5\).

Cherche d'abord, puis vérifie

a) \(18=6\times 3\), donc \(E=6\times x+6\times 3=6(x+3)\).

b) Le facteur commun est 7 : \(F=7(a-b)\).

c) \(5=5\times 1\), donc \(G=5\times x+5\times 1=5(x+1)\). Ne pas oublier le 1 !

Vérification : on redéveloppe. \(6(x+3)=6x+18\) : c'est juste.

Quelle est la factorisation de \(4x+20\) ?

\(4(x+20)\)
\(4(x+5)\)
\(4x(1+5)\)

\(20=4\times 5\), donc \(4x+20=4(x+5)\). Contrôle : \(4(x+5)=4x+20\).

5. La distributivité pour calculer de tête

Calcule de tête \(23\times 7+23\times 3\).

Voir la solution

23 est un facteur commun : \(23\times 7+23\times 3=23\times(7+3)\).

\(23\times 10=230\).

Combien font \(9\times 99\) ? (Pense à \(99=100-1\).)

\(990\)
\(909\)
\(891\)

\(9\times(100-1)=900-9=891\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

flowchart LR
  P[Produit k fois a plus b] -- developper --> S[Somme ka plus kb]
  S -- factoriser --> P

Développer : \(k(a+b)=ka+kb\) (produit → somme).
Réduire : regrouper les termes semblables (\(3x+2x=5x\)).
Factoriser : \(ka+kb=k(a+b)\) (somme → produit).
On vérifie une factorisation en redéveloppant.

Développer

Transformer un produit en somme : \(k(a+b)=ka+kb\).

Réduire

Regrouper les termes semblables pour écrire l'expression avec le moins de termes possible.

Factoriser

Transformer une somme en produit grâce à un facteur commun : \(ka+kb=k(a+b)\).

Termes semblables

Termes qui ont la même partie littérale, comme \(3x\) et \(5x\).

\(x+x\) ou \(x\times x\) ?

\(x+x=2x\) mais \(x\times x=x^2\).