Une différence de carrés devient le produit de la différence et de la somme des termes.

Différence de deux carrés

Objectifs

Démontrer l’identité.
Factoriser et résoudre une équation.
Simplifier en conservant le domaine.

Deux facteurs conjugués

Pour tous réels \(a\) et \(b\), les produits croisés s’annulent :

\[(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2.\]

On peut lire l’égalité dans les deux sens. Développer donne une différence ; factoriser transforme cette différence en produit.

flowchart LR
A[Difference de deux carres] --> B[Reperer les deux termes carres]
B --> C[Difference des termes]
B --> D[Somme des termes]
C --> E[Produit des deux facteurs]
D --> E

Quel produit vaut \(x^2-49\) ?

\((x-7)(x+7)\)
\((x-7)^2\)
\((x-49)(x+49)\)

On reconnaît \(49=7^2\).

Factoriser puis résoudre

Factorise \(9x^2-16\), puis résous \(9x^2-16=0\) dans les réels.

Voir la solution après avoir cherché

On reconnaît \((3x)^2-4^2\).

\(9x^2-16=(3x-4)(3x+4)\).

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.

\(3x-4=0\) ou \(3x+4=0\), donc \(x=\frac43\) ou \(x=-\frac43\).

Combien de solutions réelles a \(x^2-25=0\) ?

Une seule : 5
Deux : 5 et −5
Aucune

\((x-5)(x+5)=0\), d’où \(x=5\) ou \(x=-5\).

Simplifier avec les conditions

Simplifie \(\frac{x^2-9}{x-3}\) en donnant son domaine de définition.

Voir la solution après avoir cherché

Le dénominateur impose \(x\ne3\).

\(x^2-9=(x-3)(x+3)\).

Pour \(x\ne3\), on peut diviser numérateur et dénominateur par le facteur non nul \(x-3\).

La fraction vaut donc \(x+3\), uniquement sur le domaine \(x\ne3\).

Après simplification, peut-on attribuer à la fraction initiale une valeur pour \(x=3\) ?

Oui, elle vaut 6
Non, elle reste non définie

Une simplification ne supprime pas la condition initiale sur le dénominateur.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Reconnaître une différence de carrés aide à factoriser, résoudre et simplifier tout en conservant les conditions.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Identité

\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

Facteurs conjugués

Même paire de termes, signes opposés entre eux.

Produit nul

Au moins un facteur est nul.

Domaine

Les valeurs interdites par le dénominateur restent exclues.