Plusieurs écritures peuvent désigner le même rationnel ; une approximation doit être signalée.

Différentes écritures d’un nombre rationnel

Objectifs

Reconnaître des fractions équivalentes.
Passer d’une écriture à l’autre.
Distinguer valeur exacte et arrondi.

Un nombre, plusieurs écritures

Un rationnel s’écrit \(\frac{a}{b}\), où \(a\) et \(b\) sont entiers et \(b\ne0\). Multiplier ou diviser les deux termes par un même nombre non nul conserve le quotient. Simplifier une fraction change son écriture, pas sa valeur.

Pourquoi \(\frac{9}{12}\) et \(\frac{3}{4}\) sont-ils égaux ?

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On divise le numérateur et le dénominateur par \(3\).

On obtient \[\frac{9}{12}=\frac{9\div3}{12\div3}=\frac{3}{4}.\]

On a transformé les deux termes ensemble.

Quelle écriture est égale à \(\frac{2}{5}\) ?

\(\frac{4}{10}\)
\(\frac{3}{6}\)
\(\frac{2}{10}\)

On multiplie les deux termes par deux.

De la fraction au décimal

Une fraction décimale possède un dénominateur égal à une puissance de dix. Elle correspond à une écriture décimale finie : \[\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0{,}75.\] On peut aussi diviser le numérateur par le dénominateur. Tous les rationnels n’ont pas une écriture décimale finie : le développement de \(\frac{1}{3}\) se poursuit indéfiniment avec une répétition.

flowchart LR
A[Fraction] --> B[Division]
B --> C[Developpement fini]
B --> D[Developpement periodique]

Écris \(0{,}125\) sous forme de fraction simplifiée.

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Les trois chiffres après la virgule donnent \(0{,}125=\frac{125}{1000}\).

En divisant les deux termes par \(125\), on obtient \(\frac{1}{8}\).

Quelle égalité est exacte ?

\(\frac{1}{3}=0{,}33\)
\(\frac{3}{4}=0{,}75\)
\(\frac{1}{8}=0{,}12\)

Les autres décimaux proposés sont seulement des approximations.

Exact ou approché ?

Le signe \(=\) indique une égalité exacte ; \(\approx\) annonce une approximation. Pour arrondir au centième, on regarde le chiffre des millièmes.

Compare \(\frac{2}{3}\) et son arrondi au centième.

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La division donne \(0{,}666\ldots\), avec répétition du chiffre \(6\).

Le chiffre des millièmes conduit à l’arrondi \(0{,}67\).

On écrit donc \(\frac{2}{3}\approx0{,}67\), pas une égalité exacte.

Un nombre négatif peut-il être rationnel ?

Par exemple, \(-\frac{3}{4}=-0{,}75\).

Erreurs fréquentes

Résumé

Choisir une écriture adaptée aide à calculer et comparer, tout en préservant la valeur du nombre.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner les cartes.

Rationnel

Quotient de deux entiers \(\frac{a}{b}\), avec \(b\ne0\).

Fractions équivalentes

Écritures différentes d’un même quotient.

Fraction décimale

Dénominateur égal à une puissance de dix.

Arrondi

Valeur approchée à une précision choisie.