Discriminant et parabole : sommet, six configurations et discussion selon un paramètre

Les solutions de \(ax^2 + bx + c = 0\) sont les points où la parabole \(y = ax^2 + bx + c\) coupe l'axe des abscisses : le signe de \(a\) dit si elle s'ouvre vers le haut ou vers le bas, et le sommet, d'ordonnée \(-\frac{\Delta}{4a}\), dit si elle traverse l'axe.

Objectifs

Calculer le sommet et l'axe de symétrie d'une parabole \(y = ax^2 + bx + c\).
Relier le signe de \(\Delta\) à la position du sommet par rapport à l'axe des abscisses.
Reconnaître les six configurations possibles selon le signe de \(a\) et celui de \(\Delta\).
Résoudre graphiquement et algébriquement une équation \(f(x) = k\) et l'intersection d'une parabole et d'une droite.
Discuter le nombre de solutions d'une équation qui dépend d'un paramètre.

1. Le sommet, clé de la parabole

D'où vient \(\beta = -\frac{\Delta}{4a}\)

On remplace \(x\) par \(-\frac{b}{2a}\) : \(f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a \times \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c\).

Au dénominateur commun \(4a\) : \(\dfrac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} = \dfrac{-(b^2 - 4ac)}{4a}\).

Donc \(\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}\).

Exemple résolu 1

Pour \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), trouver le sommet et les racines, puis vérifier la symétrie.

\(\alpha = -\frac{-6}{2} = 3\) et \(\beta = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\). Sommet \(S(3\,;\,-4)\).

\(\Delta = 36 - 20 = 16\) ; contrôle : \(-\frac{16}{4} = -4 = \beta\).

Racines : \(\frac{6 - 4}{2} = 1\) et \(\frac{6 + 4}{2} = 5\).

Symétrie : \(1\) et \(5\) sont à égale distance (2) de \(\alpha = 3\). Le milieu des racines est toujours l'abscisse du sommet.

Quel est le sommet de la parabole \(y = 2x^2 - 8x + 3\) ?

\((-2\,;\,27)\)
\((2\,;\,-5)\)
\((4\,;\,3)\)

\(\alpha = -\frac{-8}{4} = 2\) et \(f(2) = 8 - 16 + 3 = -5\). Contrôle : \(\Delta = 64 - 24 = 40\) et \(-\frac{40}{8} = -5\).

2. Les six configurations : signe de \(a\) et signe de \(\Delta\)

Comme \(\beta = -\frac{\Delta}{4a}\) :

\(\Delta \gt 0\) exactement quand \(\beta\) et \(a\) sont de signes contraires : le sommet est du côté opposé à l'ouverture, la parabole coupe l'axe deux fois.
\(\Delta = 0\) exactement quand \(\beta = 0\) : le sommet est sur l'axe, la parabole le touche en un point.
\(\Delta \lt 0\) exactement quand \(\beta\) et \(a\) ont le même signe : la parabole reste d'un seul côté de l'axe.

Exemple résolu 2 : prévoir sans calculer les racines

Combien de solutions a \(-2x^2 + 4x + 6 = 0\) ? Cherche d'abord avec le sommet.

Voir la solution

\(a = -2 \lt 0\) : la parabole est tournée vers le bas. \(\alpha = -\frac{4}{-4} = 1\) et \(\beta = -2 + 4 + 6 = 8 \gt 0\) : le sommet est au-dessus de l'axe. Un toit dont le sommet est au-dessus de l'axe le traverse deux fois : deux solutions.

Contrôle : \(\Delta = 16 + 48 = 64 \gt 0\). En divisant par \(-2\) : \(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\), racines \(-1\) et \(3\), symétriques par rapport à \(1\).

Une parabole tournée vers le haut a son sommet en \((4\,;\,2)\). Combien de fois coupe-t-elle l'axe des abscisses ?

Deux fois
Une fois
Jamais

\(a \gt 0\) et \(\beta = 2 \gt 0\) ont le même signe : le minimum de la fonction est 2, la courbe reste au-dessus de l'axe. Donc \(\Delta \lt 0\).

3. Résoudre \(f(x) = k\) : couper par une droite horizontale

Exemple résolu 3 : le ballon

Sommet : \(\alpha = -\frac{20}{-10} = 2\) et \(h(2) = -20 + 40 = 20\). Le ballon monte au plus à 20 m, au bout de 2 s.

\(h(t) = 15\) : \(-5t^2 + 20t - 15 = 0\), soit \(t^2 - 4t + 3 = 0\). \(\Delta = 16 - 12 = 4\), donc \(t = 1\) ou \(t = 3\). Le ballon passe à 15 m en montant (1 s) puis en descendant (3 s).

\(h(t) = 25\) : \(t^2 - 4t + 5 = 0\), \(\Delta = 16 - 20 = -4 \lt 0\). Aucune solution : 25 m est au-dessus du sommet.

Remarque : \(1\) et \(3\) sont symétriques par rapport à \(\alpha = 2\), comme prévu.

Discussion graphique

Pour \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) (sommet \((3\,;\,-4)\)), déplace la droite \(y = k\) avec le curseur et compte les points d'intersection.

Voir la conclusion

Algébriquement, \(x^2 - 6x + 5 - k = 0\) a pour discriminant \(\Delta = 36 - 4(5 - k) = 16 + 4k\).

Si \(k \gt -4\) : deux solutions ; si \(k = -4\) : une seule, \(x = 3\) ; si \(k \lt -4\) : aucune. Le seuil \(-4\) est exactement l'ordonnée du sommet.

Avec \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), combien de solutions a l'équation \(f(x) = -3\) ?

Deux
Une
Aucune

\(-3 \gt -4\) : la droite \(y = -3\) est au-dessus du sommet de ce bol, elle le coupe deux fois. En effet \(\Delta = 16 + 4 \times (-3) = 4 \gt 0\).

4. Parabole et droite : sécante, tangente ou extérieure

Exemple résolu 4

Position de la parabole \(y = x^2\) par rapport aux droites \(d_1 : y = 2x + 3\), \(d_2 : y = 2x - 1\), \(d_3 : y = 2x - 5\).

\(d_1\) : \(x^2 - 2x - 3 = 0\), \(\Delta = 4 + 12 = 16\), \(x = -1\) ou \(x = 3\). Deux points : \((-1\,;\,1)\) et \((3\,;\,9)\).

\(d_2\) : \(x^2 - 2x + 1 = 0\), \(\Delta = 0\), \(x = 1\). Un seul point \((1\,;\,1)\) : \(d_2\) est tangente à la parabole.

\(d_3\) : \(x^2 - 2x + 5 = 0\), \(\Delta = 4 - 20 = -16 \lt 0\). Aucun point commun.

Pour trouver les points communs à \(y = x^2 + 1\) et \(y = 3x - 1\), quelle équation résoudre ?

\(x^2 + 3x = 0\)
\(x^2 - 3x + 2 = 0\)
\(x^2 - 3x = 0\)

\(x^2 + 1 = 3x - 1 \iff x^2 - 3x + 2 = 0\), de racines \(1\) et \(2\) : points \((1\,;\,2)\) et \((2\,;\,5)\).

5. Discuter selon un paramètre

Exemple résolu 5

Selon \(m\), combien de solutions a \(x^2 + mx + 4 = 0\) ?

\(\Delta = m^2 - 16 = (m - 4)(m + 4)\).

\(\Delta = 0\) pour \(m = 4\) (solution double \(x = -2\)) ou \(m = -4\) (solution double \(x = 2\)).

\(\Delta \gt 0\) quand \(m^2 \gt 16\), c'est-à-dire \(m \lt -4\) ou \(m \gt 4\) : deux solutions.

\(\Delta \lt 0\) quand \(-4 \lt m \lt 4\) : aucune solution.

Vérifie avec le curseur : la parabole \(y = x^2 + mx + 4\) touche l'axe pour \(m = 4\) et \(m = -4\).

À toi

Pour quelle valeur de \(m\) l'équation \(x^2 - 2x + m = 0\) a-t-elle une seule solution ? Laquelle ?

Voir la solution

\(\Delta = 4 - 4m\). \(\Delta = 0 \iff m = 1\). La solution est \(x = -\frac{-2}{2} = 1\), car \(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\).

Pour \(m \lt 1\), deux solutions ; pour \(m \gt 1\), aucune.

Pour quelles valeurs de \(m\) l'équation \(x^2 + 6x + m = 0\) a-t-elle deux solutions ?

\(m \lt 9\)
\(m \gt 9\)
\(m = 9\)

\(\Delta = 36 - 4m \gt 0 \iff m \lt 9\). Pour \(m = 9\), solution double \(-3\) ; pour \(m \gt 9\), aucune.

6. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Sommet de \(y = ax^2 + bx + c\) : \(\alpha = -\frac{b}{2a}\), \(\beta = -\frac{\Delta}{4a}\) ; axe de symétrie \(x = \alpha\), milieu des racines.
Deux solutions quand le sommet est du côté opposé à l'ouverture (\(a\) et \(\beta\) de signes contraires), une quand il est sur l'axe, aucune sinon.
Si \(a\) et \(c\) sont de signes contraires, \(\Delta \gt 0\).
\(f(x) = k\) : intersection avec la droite \(y = k\), équation \(ax^2 + bx + (c - k) = 0\).
Parabole et droite : \(\Delta \gt 0\) sécante, \(\Delta = 0\) tangente, \(\Delta \lt 0\) aucun point commun.
Avec un paramètre : exprimer \(\Delta\) en fonction de \(m\) et étudier son signe ; traiter à part le cas où le coefficient de \(x^2\) s'annule.

Sommet de la parabole

\(\left(-\frac{b}{2a}\,;\,-\frac{\Delta}{4a}\right)\)

Axe de symétrie

La droite \(x = -\frac{b}{2a}\) ; les racines sont symétriques par rapport à elle.

Deux solutions

\(\Delta \gt 0\) : \(a\) et l'ordonnée du sommet sont de signes contraires.

\(f(x) = k\)

Résoudre \(ax^2 + bx + (c - k) = 0\) ; intersection avec la droite \(y = k\).

Droite tangente

Un seul point commun avec la parabole : le discriminant de l'équation d'intersection est nul.

Discussion selon \(m\)

Calculer \(\Delta\) en fonction de \(m\) et étudier son signe.