Distance à une droite : repère, hauteurs, droites parallèles et bissectrice

La distance d'un point à une droite se mesure toujours sur la perpendiculaire ; on la retrouve dans un repère, dans les hauteurs d'un triangle, entre deux droites parallèles et sur la bissectrice d'un angle.

Objectifs

Lire directement la distance d'un point à un axe, ou à une droite horizontale ou verticale, dans un repère.
Reconnaître une hauteur d'un triangle comme une distance d'un sommet à une droite, et la calculer avec l'aire.
Définir et mesurer la distance entre deux droites parallèles.
Utiliser la propriété de la bissectrice : ses points sont à égale distance des deux côtés de l'angle.

1. Rappel : mesurer sur la perpendiculaire

Soit une droite \( (d) \) et un point \( A \). La perpendiculaire à \( (d) \) passant par \( A \) coupe \( (d) \) en \( H \), le projeté orthogonal de \( A \) sur \( (d) \).

Ce cours applique cette idée à quatre situations. Dans chacune, la question à se poser est la même : où est le pied de la perpendiculaire ?

Pour mesurer la distance d'un point \( A \) à une droite \( (d) \), on mesure le segment qui joint \( A \) à \( (d) \) :

en formant un angle droit avec \( (d) \)
en formant un angle de 45° avec \( (d) \)
en allant vers le point de \( (d) \) le plus éloigné

La distance à une droite se mesure toujours sur la perpendiculaire : c'est le chemin le plus court.

2. Dans un repère : distance à un axe ou à une droite horizontale ou verticale

Dans un repère orthonormé, prenons \( A(x_A \,;\, y_A) \).

Le projeté de \( A \) sur l'axe des abscisses est \( H(x_A \,;\, 0) \) : la distance de \( A \) à cet axe est la distance à zéro de l'ordonnée \( y_A \).
Le projeté de \( A \) sur l'axe des ordonnées est \( K(0 \,;\, y_A) \) : la distance de \( A \) à cet axe est la distance à zéro de l'abscisse \( x_A \).
Pour une droite verticale formée des points d'abscisse \( k \), la distance de \( A \) à cette droite est l'écart entre \( x_A \) et \( k \). Pour une droite horizontale formée des points d'ordonnée \( k \), c'est l'écart entre \( y_A \) et \( k \).

Exemple résolu 1 : la parcelle

La parcelle est au point \( P(-2 \,;\, 4) \), l'unité vaut 50 m. Une rue verticale passe par tous les points d'abscisse 3. Calcule la distance de \( P \) à l'avenue (axe des abscisses), au boulevard (axe des ordonnées) et à la rue. Cherche d'abord.

Voir la solution

Avenue : le pied de la perpendiculaire est \( (-2 \,;\, 0) \) ; distance \( 4 \) unités, soit \( 4 \times 50 = 200 \) m.
Boulevard : le pied est \( (0 \,;\, 4) \) ; distance \( 2 \) unités, soit \( 100 \) m.
Rue : le pied est \( (3 \,;\, 4) \) ; distance \( 3 - (-2) = 5 \) unités, soit \( 250 \) m.

Quelle est la distance du point \( B(-6 \,;\, 1) \) à l'axe des ordonnées ?

\( 1 \)
\( 6 \)
\( -6 \)

Le pied de la perpendiculaire sur l'axe des ordonnées est \( (0 \,;\, 1) \). La distance est l'écart entre l'abscisse \( -6 \) et \( 0 \), soit \( 6 \). Une distance n'est jamais négative.

3. Les hauteurs d'un triangle sont des distances

Dans un triangle \( ABC \), la hauteur issue de \( A \) est le segment qui part de \( A \) et arrive perpendiculairement sur la droite \( (BC) \). Sa longueur est donc la distance du point \( A \) à la droite \( (BC) \).

Comme l'aire d'un triangle vaut \( \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2} \), on peut retrouver une hauteur quand on connaît l'aire et la base :

\[ \text{hauteur} = \frac{2 \times \text{aire}}{\text{base}} \]

Exemple résolu 2 : un triangle rectangle

Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \) avec \( AB = 9 \) cm, \( AC = 12 \) cm et \( BC = 15 \) cm. Calcule la distance de \( A \) à la droite \( (BC) \).

Le triangle est rectangle en \( A \) : on peut prendre \( [AB] \) comme base et \( [AC] \) comme hauteur. Aire \( = \dfrac{9 \times 12}{2} = 54 \) cm².

On prend maintenant \( [BC] \) comme base. La hauteur correspondante est la distance \( h \) de \( A \) à \( (BC) \) : \( \dfrac{15 \times h}{2} = 54 \).

Donc \( h = \dfrac{2 \times 54}{15} = \dfrac{108}{15} = 7{,}2 \) cm.

Contrôle : \( 7{,}2 \) cm est plus petit que \( AB = 9 \) cm et que \( AC = 12 \) cm, ce qui est normal pour une distance à une droite (le plus court chemin).

Exemple résolu 3 : le terrain de Kaolack

Le terrain a une aire de 600 m² et le côté le long de la route mesure 40 m. À quelle distance de la route se trouve le coin opposé ?

Voir la solution

\[ h = \frac{2 \times 600}{40} = \frac{1\,200}{40} = 30 \text{ m} \]

Le coin opposé est à 30 m de la droite qui porte le côté de la route.

Un triangle a une aire de 24 cm² et un côté de 8 cm. Quelle est la distance du sommet opposé à la droite qui porte ce côté ?

\( 3 \) cm
\( 12 \) cm
\( 6 \) cm

\( h = \dfrac{2 \times 24}{8} = \dfrac{48}{8} = 6 \) cm. La réponse 3 cm oublie de multiplier l'aire par 2.

4. Distance entre deux droites parallèles

Si deux droites \( (d) \) et \( (d') \) sont parallèles, tous les points de \( (d') \) sont à la même distance de \( (d) \). Cette distance commune s'appelle la distance entre les deux droites parallèles. On la mesure sur une perpendiculaire commune aux deux droites.

Exemple résolu 4 : dans un repère

La droite \( (d) \) est formée des points d'ordonnée 2, la droite \( (d') \) des points d'ordonnée \( -3 \). Quelle est la distance entre ces deux droites ?

Voir la solution

Les deux droites sont horizontales, donc parallèles. Une perpendiculaire commune est verticale, par exemple l'axe des ordonnées, qui les coupe en \( (0 \,;\, 2) \) et \( (0 \,;\, -3) \). La distance vaut \( 2 - (-3) = 5 \) unités.

Deux droites parallèles sont à 4 cm l'une de l'autre. Un point \( M \) est sur la première. Quelle est la distance de \( M \) à la seconde ?

\( 4 \) cm, où que soit \( M \)
Cela dépend de la position de \( M \)
\( 0 \) cm

Tous les points d'une droite sont à la même distance d'une droite qui lui est parallèle : ici 4 cm.

5. La bissectrice : à égale distance des deux côtés d'un angle

La bissectrice d'un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles égaux.

On trace la bissectrice de l'angle de sommet O : elle partage l'angle en deux angles égaux.

On choisit un point M sur la bissectrice et on trace la perpendiculaire au premier côté : son pied est H.

On trace la perpendiculaire au second côté : son pied est K. On mesure : MH = MK, M est à égale distance des deux côtés.

Exemple résolu 5 : placer le puits

Le puits doit être entre les deux routes, à égale distance de chacune et à 300 m du carrefour. Explique la construction.

Voir la solution

Les points à égale distance des deux routes, entre elles, sont sur la bissectrice de l'angle formé par les routes. On la trace au rapporteur (moitié de l'angle) ou au compas.
Sur cette bissectrice, on place le point situé à 300 m du carrefour (à l'échelle du plan).
Ce point est le seul qui convient : il est sur la bissectrice et à la bonne distance du carrefour.

Un point \( M \) de la bissectrice d'un angle est à 3 cm d'un des côtés. À quelle distance est-il de l'autre côté ?

\( 6 \) cm
\( 3 \) cm
On ne peut pas savoir

Tout point de la bissectrice est à égale distance des deux côtés de l'angle : 3 cm aussi.

6. Erreurs fréquentes

7. Récapitulatif

La distance d'un point à une droite se mesure sur la perpendiculaire, jusqu'au projeté orthogonal.
Dans un repère, la distance à l'axe des abscisses se lit sur l'ordonnée, la distance à l'axe des ordonnées sur l'abscisse (sans le signe).
Une hauteur d'un triangle est la distance d'un sommet à la droite qui porte le côté opposé : \( h = \dfrac{2 \times \text{aire}}{\text{base}} \).
Deux droites parallèles sont partout à la même distance l'une de l'autre.
Les points de la bissectrice d'un angle sont à égale distance des deux côtés.

Distance d'un point à une droite

La longueur \( AH \), où \( H \) est le pied de la perpendiculaire à la droite passant par \( A \).

Distance de \( A(x_A \,;\, y_A) \) à l'axe des abscisses

L'ordonnée \( y_A \) sans son signe.

Hauteur d'un triangle

Distance d'un sommet à la droite du côté opposé : \( h = \dfrac{2 \times \text{aire}}{\text{base}} \).

Distance entre deux parallèles

L'écart mesuré sur une perpendiculaire commune ; il est le même partout.

Bissectrice

Demi-droite qui partage un angle en deux ; ses points sont à égale distance des deux côtés.