Distance d'un point à une droite : observer, prouver, construire, calculer

La distance d'un point à une droite est la longueur du chemin le plus court entre eux : celui qui arrive perpendiculairement à la droite.

Objectifs

Observer que, parmi tous les segments qui relient un point à une droite, le segment perpendiculaire est le plus court.
Démontrer ce résultat avec le théorème de Pythagore.
Construire le pied de la perpendiculaire à l'équerre et au compas.
Calculer une distance point-droite dans des figures connues : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle, situation concrète.

Le cours avance en quatre temps. On ne passe au temps suivant que lorsque le précédent est compris.

Temps 1 : observer le chemin le plus court

Étape 1 : on relie A à deux points M et N de la droite (d) par des segments obliques.

Étape 2 : on trace le segment [AH] perpendiculaire à (d) ; H est le pied de la perpendiculaire.

Étape 3 : en mesurant, [AH] est plus court que tous les segments obliques : sa longueur est la distance de A à (d).

Sur la figure, quel segment a pour longueur la distance du point \( A \) à la droite \( (d) \) ?

\( [AM] \)
\( [AN] \)
\( [AH] \)

Seul \( [AH] \) est perpendiculaire à \( (d) \) ; c'est le plus court des segments qui relient \( A \) à la droite.

Temps 2 : prouver que la perpendiculaire est la plus courte

Notion clé : définition

Soit \( A \) un point et \( (d) \) une droite. La perpendiculaire à \( (d) \) passant par \( A \) coupe \( (d) \) en un point \( H \), appelé projeté orthogonal de \( A \) sur \( (d) \) (ou pied de la perpendiculaire). La distance du point \( A \) à la droite \( (d) \) est la longueur \( AH \).

Si \( A \) est sur la droite \( (d) \), alors \( H = A \) et la distance vaut 0.

Notion clé : la preuve

Prenons un point \( M \) de \( (d) \), différent de \( H \). Le triangle \( AHM \) est rectangle en \( H \) et son hypoténuse est \( [AM] \). D'après le théorème de Pythagore :

\[ AM^2 = AH^2 + HM^2 \]

Comme \( M \neq H \), on a \( HM^2 > 0 \), donc \( AM^2 > AH^2 \), et comme ce sont des longueurs positives, \( AM > AH \).

Exemple résolu 1

Le point \( A \) est à 3 cm de la droite \( (d) \), \( H \) est son projeté orthogonal, et \( M \) est un point de \( (d) \) tel que \( HM = 4 \) cm. Calcule \( AM \) et compare-la à \( AH \).

Cherche d'abord, puis vois la solution

Le triangle \( AHM \) est rectangle en \( H \) :

\[ AM^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, \quad \text{donc} \quad AM = 5 \text{ cm}. \]

On a bien \( AM = 5 \text{ cm} > AH = 3 \text{ cm} \).

La distance du point \( A \) à la droite \( (d) \) vaut 4 cm. Peut-il exister un point \( M \) de \( (d) \) tel que \( AM = 3 \) cm ?

Oui, si \( M \) est assez loin de \( H \)
Non, car pour tout point \( M \) de \( (d) \), \( AM \geq 4 \) cm
Oui, si \( M \) est confondu avec \( H \)

La distance est la plus petite longueur possible : tous les segments \( [AM] \) mesurent au moins 4 cm, et exactement 4 cm seulement quand \( M = H \).

Temps 3 : construire le pied de la perpendiculaire

Avec l'équerre

Pose un côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite \( (d) \).

Fais glisser l'équerre le long de \( (d) \) jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par \( A \).

Trace le segment de \( A \) jusqu'à \( (d) \) et nomme \( H \) le point de rencontre. Code l'angle droit.

Mesure \( AH \) à la règle : c'est la distance cherchée.

Avec le compas (construction plus précise)

Pointe le compas sur \( A \) et trace un arc qui coupe \( (d) \) en deux points \( E \) et \( F \). Alors \( AE = AF \).

Avec un même écartement, trace un arc de centre \( E \) puis un arc de centre \( F \), de l'autre côté de \( (d) \) : ils se coupent en \( G \).

\( A \) et \( G \) sont chacun à égale distance de \( E \) et \( F \) : la droite \( (AG) \) est la médiatrice de \( [EF] \), donc elle est perpendiculaire à \( (d) \).

\( (AG) \) coupe \( (d) \) en \( H \), le projeté orthogonal de \( A \).

Dans la construction au compas, pourquoi la droite \( (AG) \) est-elle perpendiculaire à \( (d) \) ?

Parce que \( A \) et \( G \) sont équidistants de \( E \) et \( F \), donc \( (AG) \) est la médiatrice de \( [EF] \)
Parce que \( G \) est le milieu de \( [AE] \)
Parce que \( AE = EF \)

Un point à égale distance de \( E \) et \( F \) est sur la médiatrice de \( [EF] \) ; deux tels points définissent cette médiatrice, qui est perpendiculaire à \( [EF] \), donc à \( (d) \).

Temps 4 : calculer une distance point-droite

Exemple résolu 2 : un côté est déjà perpendiculaire

Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \), avec \( AB = 7 \) cm et \( AC = 5 \) cm. Quelle est la distance du point \( B \) à la droite \( (AC) \) ?

Voir la solution

La droite \( (AB) \) est perpendiculaire à \( (AC) \) en \( A \). Le projeté orthogonal de \( B \) sur \( (AC) \) est donc \( A \) lui-même, et la distance de \( B \) à \( (AC) \) est \( BA = 7 \) cm. Aucun calcul n'est nécessaire.

Exemple résolu 3 : le triangle isocèle

Le triangle \( ABC \) est isocèle en \( A \) avec \( AB = AC = 5 \) cm et \( BC = 6 \) cm. Calcule la distance de \( A \) à la droite \( (BC) \).

Dans un triangle isocèle en \( A \), la hauteur issue de \( A \) est aussi la médiane : son pied \( H \) est le milieu de \( [BC] \), donc \( BH = 3 \) cm.

Le triangle \( ABH \) est rectangle en \( H \) et son hypoténuse est \( [AB] \).

\( AH^2 = AB^2 - BH^2 = 25 - 9 = 16 \).

\( AH = \sqrt{16} = 4 \) cm : la distance de \( A \) à \( (BC) \) est 4 cm.

Exemple résolu 4 : le triangle équilatéral

Le triangle \( EFG \) est équilatéral de côté 6 cm. Calcule la distance du sommet \( E \) à la droite \( (FG) \), arrondie au millimètre.

Cherche d'abord, puis vois la solution

Le pied \( H \) de la hauteur issue de \( E \) est le milieu de \( [FG] \), donc \( FH = 3 \) cm. Dans le triangle \( EFH \), rectangle en \( H \) :

\begin{align} EH^2 &= EF^2 - FH^2 = 36 - 9 = 27 \\ EH &= \sqrt{27} \approx 5{,}2 \text{ cm} \end{align}

Exemple résolu 5 : l'école et la route

L'école \( E \) d'un village est reliée par un sentier droit de 1,3 km au point \( M \) d'une route rectiligne. Le pied \( H \) de la perpendiculaire menée de \( E \) à la route est à 0,5 km de \( M \). On veut tracer la piste la plus courte possible entre l'école et la route. Quelle sera sa longueur ?

Voir la solution

La piste la plus courte est \( [EH] \). Le triangle \( EHM \) est rectangle en \( H \), d'hypoténuse \( [EM] \) :

\begin{align} EH^2 &= EM^2 - HM^2 = 1{,}3^2 - 0{,}5^2 = 1{,}69 - 0{,}25 = 1{,}44 \\ EH &= \sqrt{1{,}44} = 1{,}2 \text{ km} \end{align}

La piste mesurera 1,2 km, soit 100 m de moins que le sentier actuel.

Un triangle \( RST \) est isocèle en \( R \) avec \( RS = RT = 10 \) cm et \( ST = 12 \) cm. Quelle est la distance de \( R \) à la droite \( (ST) \) ?

6 cm
8 cm
10 cm

Le pied \( H \) est le milieu de \( [ST] \), donc \( SH = 6 \) cm, et \( RH = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \) cm.

Erreurs fréquentes

Mesurer un segment oblique : la distance se mesure uniquement sur la perpendiculaire. Toute autre longueur est plus grande.
Prendre la mauvaise hypoténuse : dans le triangle \( AHM \), l'hypoténuse est \( [AM] \), en face de l'angle droit en \( H \). On calcule donc \( AH^2 = AM^2 - HM^2 \) (une soustraction), pas une addition.
Croire que le pied est toujours le milieu : c'est vrai pour la hauteur principale d'un triangle isocèle ou équilatéral, pas dans un triangle quelconque.
Oublier de prolonger la droite : le pied \( H \) peut se trouver en dehors du segment dessiné.
Oublier le cas du point sur la droite : si \( A \) appartient à \( (d) \), la distance est 0.

Récapitulatif

Observer : parmi les segments qui relient \( A \) à \( (d) \), le perpendiculaire est le plus court.
Prouver : dans le triangle \( AHM \) rectangle en \( H \), \( AM^2 = AH^2 + HM^2 \), donc \( AM > AH \) dès que \( M \neq H \).
Construire : à l'équerre, ou au compas avec la médiatrice d'un segment \( [EF] \) porté par \( (d) \).
Calculer : repérer \( H \), le triangle rectangle qui contient \( [AH] \), puis appliquer Pythagore.

Projeté orthogonal

Le point H où la perpendiculaire à (d) passant par A coupe (d).

Distance de A à (d)

La longueur AH : la plus petite longueur AM pour M sur (d).

Pourquoi AH est minimale

AM est l'hypoténuse du triangle AHM rectangle en H, donc AM > AH.

Triangle isocèle en A

Le pied de la hauteur issue de A est le milieu de la base.

Point sur la droite

Sa distance à la droite vaut 0.