Distance entre deux points dans un repère

Pour mesurer la longueur d'un segment dans un repère, on fabrique un triangle rectangle avec un « pas horizontal » et un « pas vertical », puis on applique le théorème de Pythagore.

Objectifs

Lire l'écart horizontal et l'écart vertical entre deux points à partir de leurs coordonnées.
Comprendre pourquoi le théorème de Pythagore donne la longueur d'un segment dans un repère orthonormé.
Utiliser la formule \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \).
Se servir des distances pour reconnaître la nature d'un triangle (isocèle, rectangle).

1. Rappel : le repère orthonormé

Un repère orthonormé est formé de deux axes gradués perpendiculaires qui se coupent en un point \( O \) (l'origine), avec la même unité sur les deux axes.

Un point \( A \) est repéré par ses coordonnées \( A(x_A \,;\, y_A) \) : d'abord l'abscisse \( x_A \) (lue sur l'axe horizontal), puis l'ordonnée \( y_A \) (lue sur l'axe vertical).

Le point \( K(-3 \,;\, 5) \) a pour abscisse :

\( -3 \)
\( 5 \)
\( 2 \)

L'abscisse est toujours le premier nombre du couple : ici \( -3 \). Le second nombre, \( 5 \), est l'ordonnée.

2. Notion clé : un segment est l'hypoténuse d'un triangle rectangle

Prenons \( A(1 \,;\, 2) \) et \( B(4 \,;\, 6) \). Plaçons le point \( H(4 \,;\, 2) \) : il a l'abscisse de \( B \) et l'ordonnée de \( A \). Le triangle \( AHB \) est rectangle en \( H \), car \( [AH] \) est horizontal et \( [HB] \) est vertical.

On veut la longueur du segment [AB], qui est « en biais » : on ne peut pas la lire directement sur un axe.

On place H(4 ; 2) : on part de A vers la droite, puis on monte jusqu'à B. Le triangle AHB est rectangle en H.

On lit les deux côtés de l'angle droit : AH = 4 − 1 = 3 (écart des abscisses) et HB = 6 − 2 = 4 (écart des ordonnées).

Le théorème de Pythagore dans AHB donne AB² = AH² + HB² = 9 + 16 = 25, donc AB = 5.

La formule

En reprenant ce raisonnement avec deux points quelconques \( A(x_A \,;\, y_A) \) et \( B(x_B \,;\, y_B) \) d'un repère orthonormé :

l'écart horizontal est \( x_B - x_A \) ;
l'écart vertical est \( y_B - y_A \) ;
Pythagore donne \( AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 \).

Pour \( A(2 \,;\, 5) \) et \( B(-1 \,;\, 1) \), combien vaut \( (x_B - x_A)^2 \) ?

\( -9 \)
\( 3 \)
\( 9 \)

\( x_B - x_A = -1 - 2 = -3 \) et \( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \). Un carré n'est jamais négatif.

3. Exemples résolus

Exemple 1 : avec des nombres négatifs

Calculer la distance \( CD \) avec \( C(-2 \,;\, 1) \) et \( D(3 \,;\, -11) \).

Écart des abscisses : \( x_D - x_C = 3 - (-2) = 3 + 2 = 5 \).

Écart des ordonnées : \( y_D - y_C = -11 - 1 = -12 \).

On élève au carré et on additionne : \( CD^2 = 5^2 + (-12)^2 = 25 + 144 = 169 \).

On prend la racine carrée : \( CD = \sqrt{169} = 13 \). La distance \( CD \) vaut 13 unités.

Exemple 2 : un résultat qui n'est pas entier

Calculer \( PQ \) avec \( P(2 \,;\, 3) \) et \( Q(5 \,;\, 5) \). Donner la valeur exacte puis un arrondi au centième.

Voir la solution

\[ \begin{align} PQ^2 &= (5 - 2)^2 + (5 - 3)^2 \\ &= 3^2 + 2^2 \\ &= 9 + 4 = 13 \end{align} \]

Donc \( PQ = \sqrt{13} \) (valeur exacte) et \( PQ \approx 3{,}61 \) (arrondi au centième, à la calculatrice).

Exemple 3 : la distance réelle sur une carte

Sur un plan de Bamako, une unité du repère représente 100 m. La maison de Fatou est au point \( M(-1 \,;\, 2) \), son école au point \( E(5 \,;\, 10) \). Quelle est la distance à vol d'oiseau entre la maison et l'école ?

Voir la solution

\[ \begin{align} ME^2 &= \big(5 - (-1)\big)^2 + (10 - 2)^2 \\ &= 6^2 + 8^2 \\ &= 36 + 64 = 100 \end{align} \]

Donc \( ME = \sqrt{100} = 10 \) unités, soit \( 10 \times 100 = 1\,000 \) m, c'est-à-dire 1 km à vol d'oiseau. Si Fatou suit les rues (6 unités vers l'est puis 8 vers le nord), elle parcourt \( 6 + 8 = 14 \) unités, soit 1,4 km : le chemin en ligne droite est le plus court.

Exemple 4 : reconnaître la nature d'un triangle

On donne \( A(1 \,;\, 1) \), \( B(5 \,;\, 4) \) et \( C(4 \,;\, -3) \). Quelle est la nature du triangle \( ABC \) ?

\( AB^2 = (5 - 1)^2 + (4 - 1)^2 = 16 + 9 = 25 \), donc \( AB = 5 \).

\( AC^2 = (4 - 1)^2 + (-3 - 1)^2 = 9 + 16 = 25 \), donc \( AC = 5 \).

\( BC^2 = (4 - 5)^2 + (-3 - 4)^2 = 1 + 49 = 50 \).

\( AB = AC \) : le triangle est isocèle en \( A \). De plus \( AB^2 + AC^2 = 25 + 25 = 50 = BC^2 \) : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, il est aussi rectangle en \( A \). Le triangle \( ABC \) est rectangle isocèle en \( A \).

Quelle est la distance entre \( O(0 \,;\, 0) \) et \( R(6 \,;\, 8) \) ?

\( 14 \)
\( 10 \)
\( 100 \)

\( OR^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \), donc \( OR = \sqrt{100} = 10 \). 14 est la somme des écarts (le trajet « par les rues ») et 100 est le carré de la distance.

4. Erreurs fréquentes

Awa trouve \( AB^2 = 49 \). Que vaut \( AB \) ?

\( 7 \)
\( 49 \)
\( 24{,}5 \)

\( AB \) est le nombre positif dont le carré vaut 49 : \( AB = \sqrt{49} = 7 \). Il ne faut ni s'arrêter à 49, ni diviser par 2.

5. Récapitulatif

Dans un repère orthonormé, le segment \( [AB] \) est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent l'écart des abscisses et l'écart des ordonnées.
Formule : \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \).
Méthode : écarts → carrés → somme → racine carrée.
Les distances permettent de prouver qu'un triangle est isocèle (deux côtés égaux) ou rectangle (réciproque de Pythagore).

Repère orthonormé

Deux axes perpendiculaires avec la même unité sur les deux axes.

Écart horizontal entre A et B

\( x_B - x_A \), la différence des abscisses.

Formule de la distance

\( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \)

Pourquoi AB = BA ?

Les écarts changent de signe mais leurs carrés restent les mêmes.

Prouver qu'un triangle est rectangle

Calculer les carrés des trois côtés et vérifier l'égalité de Pythagore.