Distance entre deux points : construire la formule pas à pas

Pour mesurer un segment dans un repère orthonormé, on le transforme en hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux autres côtés se lisent directement sur les axes.

Objectifs

Calculer une distance sur une droite graduée, puis entre deux points alignés horizontalement ou verticalement.
Construire le triangle rectangle caché derrière un segment oblique et appliquer le théorème de Pythagore.
Retrouver et utiliser la formule \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \), même avec des coordonnées négatives.
Éviter les pièges de calcul : signes, carrés de nombres négatifs, racine d'une somme.

Ce cours monte un escalier de quatre marches. Chaque marche s'appuie sur la précédente : ne saute pas d'étape.

Marche 1 : la distance sur une droite graduée

Notion clé

Sur une droite graduée, si le point \( A \) a pour abscisse \( a \) et le point \( B \) a pour abscisse \( b \), la distance \( AB \) est la différence entre la plus grande et la plus petite abscisse. On l'écrit avec une valeur absolue :

\[ AB = |b - a| \]

Une distance est toujours positive ou nulle : la valeur absolue enlève le signe « moins » éventuel.

Exemple résolu 1

Sur une droite graduée, \( A \) a pour abscisse \( -3 \) et \( B \) a pour abscisse \( 5 \). Calcule \( AB \).

Voir la solution

La plus grande abscisse est \( 5 \), la plus petite est \( -3 \).

\[ AB = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \]

On peut vérifier en comptant les graduations : de \( -3 \) à \( 0 \) il y a 3 unités, de \( 0 \) à \( 5 \) il y en a 5, soit 8 en tout.

Sur une droite graduée, \( C \) a pour abscisse \( -7 \) et \( D \) a pour abscisse \( -2 \). Que vaut \( CD \) ?

9
5
−5

\( CD = -2 - (-7) = -2 + 7 = 5 \). Une distance n'est jamais négative, et 9 vient d'une erreur de signe.

Marche 2 : deux points sur une même ligne horizontale ou verticale

Notion clé

Dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et même unité sur les deux axes) :

si \( A \) et \( B \) ont la même ordonnée, le segment \( [AB] \) est horizontal et \( AB = |x_B - x_A| \) ;
si \( A \) et \( B \) ont la même abscisse, le segment \( [AB] \) est vertical et \( AB = |y_B - y_A| \).

On revient donc à la marche 1 : une seule coordonnée change, c'est une distance sur une droite graduée.

Exemple résolu 2

Calcule \( EF \) avec \( E(-2\,;\,3) \) et \( F(4\,;\,3) \), puis \( GH \) avec \( G(1\,;\,-4) \) et \( H(1\,;\,2) \).

Pour \( E \) et \( F \), l'ordonnée est la même (3) : le segment est horizontal.

\( EF = |4 - (-2)| = |6| = 6 \).

Pour \( G \) et \( H \), l'abscisse est la même (1) : le segment est vertical.

\( GH = |2 - (-4)| = |6| = 6 \). Les deux segments ont la même longueur.

Que vaut la distance entre \( K(5\,;\,-1) \) et \( L(5\,;\,-9) \) ?

Même abscisse 5 : le segment est vertical, donc \( KL = |-9 - (-1)| = |-8| = 8 \).

Marche 3 : un segment oblique cache un triangle rectangle

Notion clé

Quand \( A \) et \( B \) n'ont ni la même abscisse ni la même ordonnée, on place le point \( C \) qui a l'abscisse de \( B \) et l'ordonnée de \( A \). Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( C \), car \( [AC] \) est horizontal et \( [CB] \) est vertical. Les marches 1 et 2 donnent \( AC \) et \( CB \) ; le théorème de Pythagore donne \( AB \).

Exemple résolu 3 : construction guidée

Calcule \( AB \) avec \( A(1\,;\,1) \) et \( B(5\,;\,4) \).

Étape 1 : on veut la longueur du segment oblique [AB], qu'on ne peut pas lire en comptant les carreaux.

Étape 2 : on place C(5;1). [AC] est horizontal (AC = 5 − 1 = 4) et [CB] est vertical (CB = 4 − 1 = 3).

Étape 3 : le triangle est rectangle en C, donc Pythagore s'applique : AB² = 4² + 3² = 25.

Voir la solution rédigée

Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( C \). D'après le théorème de Pythagore :

\begin{align} AB^2 &= AC^2 + CB^2 \\ AB^2 &= 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \\ AB &= \sqrt{25} = 5 \end{align}

La distance \( AB \) vaut 5 unités.

Pour calculer \( PQ \) avec \( P(2\,;\,1) \) et \( Q(8\,;\,9) \), quel point \( R \) forme un triangle rectangle en \( R \) avec des côtés horizontal et vertical ?

\( R(8\,;\,1) \)
\( R(2\,;\,8) \)
\( R(9\,;\,2) \)

\( R \) prend l'abscisse de \( Q \) (8) et l'ordonnée de \( P \) (1). Alors \( PR = 6 \), \( RQ = 8 \) et \( PQ = \sqrt{36 + 64} = 10 \).

Marche 4 : la formule générale

Notion clé

Dans le triangle de la marche 3, le côté horizontal mesure \( |x_B - x_A| \) et le côté vertical \( |y_B - y_A| \). Comme un carré est toujours positif, on peut retirer les valeurs absolues. Dans un repère orthonormé :

\[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

Exemple résolu 4 : avec des coordonnées négatives

Calcule \( MN \) avec \( M(-3\,;\,2) \) et \( N(3\,;\,-6) \).

Écart des abscisses : \( x_N - x_M = 3 - (-3) = 6 \).

Écart des ordonnées : \( y_N - y_M = -6 - 2 = -8 \).

Carrés : \( 6^2 = 36 \) et \( (-8)^2 = 64 \). Le signe disparaît.

\( MN = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \).

Exemple résolu 5 : un résultat qui ne tombe pas juste

Calcule \( ST \) avec \( S(-1\,;\,-2) \) et \( T(2\,;\,4) \). Donne la valeur exacte puis un arrondi au dixième.

Cherche d'abord, puis vois la solution

\begin{align} x_T - x_S &= 2 - (-1) = 3 \\ y_T - y_S &= 4 - (-2) = 6 \\ ST &= \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} \end{align}

Valeur exacte : \( ST = \sqrt{45} \). À la calculatrice, \( ST \approx 6{,}7 \) unités.

Exemple résolu 6 : le point est-il à la bonne distance ?

Aminata veut planter un manguier à exactement 5 unités du puits \( P(2\,;\,-1) \). Elle propose l'emplacement \( M(-1\,;\,3) \). A-t-elle raison ?

Voir la solution

\[ PM = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Oui : l'emplacement \( M \) est bien à 5 unités du puits.

Avec \( A(0\,;\,0) \) et \( B(6\,;\,8) \), que vaut \( AB \) ?

\( AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \). 14 est la somme \( 6 + 8 \) (erreur), et 100 est \( AB^2 \), pas \( AB \).

Dans le calcul d'une distance, que vaut \( (-5)^2 \) ?

−25
−10
25

\( (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \) : le produit de deux nombres négatifs est positif.

Erreurs fréquentes

Mélanger les coordonnées : on soustrait une abscisse à une abscisse et une ordonnée à une ordonnée, jamais \( x_B - y_A \).
Oublier les parenthèses : \( (-3)^2 = 9 \), mais sans parenthèses la calculatrice peut afficher \( -3^2 = -9 \). Écris toujours l'écart entre parenthèses avant de l'élever au carré.
S'arrêter à \( AB^2 \) : si tu trouves \( AB^2 = 25 \), il reste à prendre la racine carrée : \( AB = 5 \).
Trouver une distance négative : c'est impossible ; une erreur de signe s'est glissée.
Utiliser la formule dans un repère non orthonormé : elle n'est valable que si les axes sont perpendiculaires et ont la même unité.

Récapitulatif

Sur une droite graduée : \( AB = |b - a| \).
Segment horizontal ou vertical : une seule coordonnée change, on fait la différence.
Segment oblique : on construit le triangle rectangle avec un côté horizontal et un côté vertical, puis Pythagore.
Formule (repère orthonormé) : \( AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \) ; écarts, carrés, somme, racine.

Distance sur une droite graduée

La plus grande abscisse moins la plus petite : AB = |b − a|.

Repère orthonormé

Axes perpendiculaires et même unité sur les deux axes.

Triangle caché

Le point C(xB ; yA) forme avec A et B un triangle rectangle en C.

Formule de la distance

AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²).

Ordre des calculs

Écarts, carrés, somme, puis racine carrée en dernier.