Objectifs

• Définir la valeur absolue d'un réel et l'interpréter comme une distance à 0.
• Calculer la distance entre deux réels : \(d(a, b) = |a - b|\).
• Utiliser les propriétés de la valeur absolue.
• Traduire \(|x - c| \leq r\), \(|x - c| = r\) ou \(|x - c| \geq r\) par un intervalle (ou une réunion d'intervalles) et inversement.
• Comprendre la notion de valeur approchée à \(r\) près.

1. La valeur absolue d'un réel

La valeur absolue d'un réel \(x\), notée \(|x|\), est la distance entre le point d'abscisse \(x\) et l'origine \(O\) (le point d'abscisse 0) sur une droite graduée.

Exemples : \(|5| = 5\), \(|-7| = 7\), \(|0| = 0\). Comme \(\pi \approx 3{,}14 \gt 3\), on a \(3 - \pi \lt 0\), donc \(|3 - \pi| = \pi - 3\).

2. Distance entre deux réels

Sur une droite graduée, soient \(A\) et \(B\) les points d'abscisses \(a\) et \(b\). La distance entre les réels \(a\) et \(b\) est la longueur \(AB\) :

C'est « le plus grand moins le plus petit ». En particulier, \(|x| = d(x, 0)\).

Exemple résolu 1 : calculer des distances

Calcule \(d(-12, 8)\), \(d(-5, -2)\) et \(d\left(\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}\right)\). Cherche d'abord.

3. Propriétés de la valeur absolue

Pour tous réels \(x\) et \(y\) :

4. Distance et intervalles

Soient \(c\) un réel et \(r\) un réel strictement positif.

• \(|x - c| \leq r \iff x \in [c - r \,;\, c + r]\) : les réels à une distance au plus \(r\) de \(c\) ;
• \(|x - c| \lt r \iff x \in \,]c - r \,;\, c + r[\) ;
• \(|x - c| = r \iff x = c - r\) ou \(x = c + r\) ;
• \(|x - c| \geq r \iff x \in \,]-\infty \,;\, c - r] \cup [c + r \,;\, +\infty[\).

Inversement, l'intervalle \([a \,;\, b]\) a pour centre \(c = \dfrac{a + b}{2}\) et pour rayon \(r = \dfrac{b - a}{2}\) : \(x \in [a \,;\, b] \iff |x - c| \leq r\).

Manipule les curseurs : la courbe en V représente \(y = |x - a|\) (la distance entre \(x\) et \(a\)) et la droite horizontale \(y = r\). Les réels \(x\) pour lesquels le V est sous la droite forment l'intervalle \([a - r \,;\, a + r]\).

Exemple résolu 2 : résoudre une équation

Résous \(|x + 1| = 4\). Cherche d'abord.

Exemple résolu 3 : de l'intervalle à la valeur absolue

Écris la condition \(x \in [3 \,;\, 9]\) à l'aide d'une valeur absolue.

Exemple résolu 4 : une inégalité « supérieure »

Résous \(|x - 1| \gt 2\). Cherche d'abord.

5. Valeur approchée à \(r\) près

Soit \(r \gt 0\). On dit que \(a\) est une valeur approchée de \(x\) à \(r\) près si \(|x - a| \leq r\), c'est-à-dire \(x \in [a - r \,;\, a + r]\).

Exemple : \(\pi = 3{,}14159\ldots\) et \(|\pi - 3{,}14| \approx 0{,}0016 \leq 0{,}01\), donc \(3{,}14\) est une valeur approchée de \(\pi\) à \(10^{-2}\) près.

Erreurs fréquentes

• Trouver une distance négative : une distance est toujours positive ou nulle.
• Lire \(|x + 1|\) comme la distance entre \(x\) et 1 : c'est la distance entre \(x\) et \(-1\).
• Oublier une solution de \(|x - c| = r\) : il y en a deux (un point de chaque côté de \(c\)).
• Écrire \(|x - c| \geq r\) comme un seul intervalle : c'est une réunion de deux intervalles.
• Croire que \(|x + y| = |x| + |y|\) dans tous les cas.

Récapitulatif

La valeur absolue \(|x|\) est la distance de \(x\) à 0. La distance entre \(a\) et \(b\) est \(|a - b|\). L'inégalité \(|x - c| \leq r\) signifie que \(x\) appartient à l'intervalle de centre \(c\) et de rayon \(r\), \([c - r \,;\, c + r]\). Un intervalle \([a \,;\, b]\) a pour centre \(\frac{a + b}{2}\) et pour rayon \(\frac{b - a}{2}\).