Distance d'un point à une droite

Le chemin le plus court d'un point vers une droite est le segment perpendiculaire à cette droite : sa longueur s'appelle la distance du point à la droite.

Objectifs

Savoir ce qu'est le projeté orthogonal d'un point sur une droite.
Construire la perpendiculaire à une droite passant par un point, avec l'équerre ou le compas.
Comprendre pourquoi ce segment perpendiculaire est le plus court.
Calculer une distance point-droite avec le théorème de Pythagore ou avec l'aire d'un triangle.

1. Le plus court chemin vers une route

Soit une droite \( (d) \) et un point \( A \) qui n'est pas sur \( (d) \). La perpendiculaire à \( (d) \) passant par \( A \) coupe \( (d) \) en un point \( H \).

On trace la perpendiculaire à (d) qui passe par A (en pointillés).

Elle coupe (d) en H, avec un angle droit : la longueur AH est la distance de A à (d).

On prend un autre point M de (d) et on trace le segment [AM], un chemin « en biais ».

Le triangle AHM est rectangle en H, donc [AM] est son hypoténuse, le plus long côté : AM est plus grand que AH.

Pourquoi AH est la plus petite distance

Pour tout point \( M \) de \( (d) \) différent de \( H \), le triangle \( AHM \) est rectangle en \( H \). D'après le théorème de Pythagore :

\[ AM^2 = AH^2 + HM^2 \]

Comme \( HM^2 > 0 \), on a \( AM^2 > AH^2 \), donc \( AM > AH \). Aucun point de la droite n'est plus proche de \( A \) que \( H \).

La distance du point \( A \) à la droite \( (d) \) est :

la longueur \( AM \) pour n'importe quel point \( M \) de \( (d) \)
la longueur \( AH \), où \( H \) est le pied de la perpendiculaire à \( (d) \) passant par \( A \)
la plus grande longueur entre \( A \) et un point de \( (d) \)

La distance à une droite est la plus courte des distances entre \( A \) et les points de la droite : on l'obtient avec le pied \( H \) de la perpendiculaire.

2. Construire la perpendiculaire

Avec l'équerre

Poser un côté de l'angle droit de l'équerre le long de la droite \( (d) \).
Faire glisser l'équerre le long de \( (d) \) jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit passe par \( A \).
Tracer le trait de \( A \) jusqu'à \( (d) \) ; marquer le point \( H \) et le codage de l'angle droit.
Mesurer \( AH \) à la règle graduée.

Avec le compas (plus précis)

Piquer le compas en \( A \) et tracer un arc qui coupe \( (d) \) en deux points \( E \) et \( F \).
Avec un même écartement (assez grand), tracer un arc de centre \( E \) et un arc de centre \( F \), du côté opposé à \( A \) : ils se coupent en un point \( K \).
La droite \( (AK) \) est perpendiculaire à \( (d) \) : elle coupe \( (d) \) en \( H \). En effet \( A \) et \( K \) sont tous deux à égale distance de \( E \) et \( F \), donc \( (AK) \) est la médiatrice de \( [EF] \).

3. Calculer une distance point-droite

Exemple 1 : avec le théorème de Pythagore

\( H \) est le projeté orthogonal de \( A \) sur \( (d) \). Un point \( M \) de \( (d) \) vérifie \( AM = 13 \) cm et \( HM = 5 \) cm. Calculer la distance de \( A \) à \( (d) \).

Le triangle \( AHM \) est rectangle en \( H \) et son hypoténuse est \( [AM] \).

Pythagore : \( AM^2 = AH^2 + HM^2 \), donc \( AH^2 = AM^2 - HM^2 \).

\( AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \).

\( AH = \sqrt{144} = 12 \). La distance de \( A \) à \( (d) \) est 12 cm.

Exemple 2 : avec l'aire d'un triangle

Le triangle \( ABC \) est rectangle en \( A \), avec \( AB = 6 \) cm, \( AC = 8 \) cm et \( BC = 10 \) cm. Calculer la distance du point \( A \) à la droite \( (BC) \).

Voir la solution

Notons \( H \) le pied de la perpendiculaire à \( (BC) \) passant par \( A \) : \( AH \) est la hauteur issue de \( A \). On calcule l'aire du triangle de deux façons.

Avec les côtés de l'angle droit : \( \mathcal{A} = \dfrac{AB \times AC}{2} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24 \) cm².
Avec la base \( [BC] \) et la hauteur \( AH \) : \( \mathcal{A} = \dfrac{BC \times AH}{2} = \dfrac{10 \times AH}{2} = 5 \times AH \).

\[ 5 \times AH = 24 \quad \text{donc} \quad AH = \frac{24}{5} = 4{,}8 \text{ cm} \]

La distance de \( A \) à la droite \( (BC) \) est 4,8 cm. On vérifie qu'elle est bien plus petite que \( AB = 6 \) cm et \( AC = 8 \) cm.

Exemple 3 : dans un repère

Dans un repère orthonormé, on donne \( A(-4 \,;\, 3) \). Quelle est la distance de \( A \) à l'axe des abscisses ? à l'axe des ordonnées ?

Voir la solution

Le projeté orthogonal de \( A \) sur l'axe des abscisses est \( H(-4 \,;\, 0) \) : la distance vaut \( AH = 3 \), la valeur de l'ordonnée sans son signe.
Le projeté orthogonal de \( A \) sur l'axe des ordonnées est \( K(0 \,;\, 3) \) : la distance vaut \( AK = 4 \), la valeur de l'abscisse sans son signe (une distance n'est jamais négative).

Exemple 4 : le tuyau le moins cher

Un puits \( P \) se trouve à 300 m d'une canalisation rectiligne : le pied de la perpendiculaire est le point \( H \). Le chef de village propose plutôt de raccorder le puits au point \( M \) de la canalisation, situé à 400 m de \( H \). Le tuyau coûte 2 000 F CFA le mètre. Quelle économie fait-on en raccordant le puits en \( H \) ?

Voir la solution

Le triangle \( PHM \) est rectangle en \( H \) :

\[ \begin{align} PM^2 &= PH^2 + HM^2 = 300^2 + 400^2 \\ &= 90\,000 + 160\,000 = 250\,000 \end{align} \]

Donc \( PM = \sqrt{250\,000} = 500 \) m.

Tuyau jusqu'à \( H \) : \( 300 \times 2\,000 = 600\,000 \) F CFA.
Tuyau jusqu'à \( M \) : \( 500 \times 2\,000 = 1\,000\,000 \) F CFA.

L'économie est de \( 1\,000\,000 - 600\,000 = 400\,000 \) F CFA.

\( H \) est le projeté orthogonal de \( A \) sur \( (d) \), \( M \) un point de \( (d) \), avec \( AM = 10 \) cm et \( HM = 6 \) cm. Que vaut \( AH \) ?

8 cm
4 cm
16 cm

\( AH^2 = AM^2 - HM^2 = 100 - 36 = 64 \), donc \( AH = 8 \) cm. On ne soustrait pas les longueurs (\( 10 - 6 = 4 \)), mais leurs carrés.

Dans un repère orthonormé, quelle est la distance du point \( B(5 \,;\, -2) \) à l'axe des abscisses ?

\( 5 \)
\( -2 \)
\( 2 \)

Le projeté de \( B \) sur l'axe des abscisses est \( (5 \,;\, 0) \) : la distance est la valeur de l'ordonnée sans son signe, soit 2. Une distance n'est jamais négative.

4. Erreurs fréquentes

Le point \( A \) appartient à la droite \( (d) \). La distance de \( A \) à \( (d) \) est :

impossible à calculer
égale à 0
égale à 1

Si \( A \) est sur \( (d) \), son projeté orthogonal est \( A \) lui-même : \( AH = AA = 0 \).

5. Récapitulatif

Le projeté orthogonal \( H \) de \( A \) sur \( (d) \) est le point où la perpendiculaire à \( (d) \) passant par \( A \) coupe \( (d) \).
La distance de \( A \) à \( (d) \) est \( AH \) : c'est la plus petite des distances \( AM \), pour \( M \) sur \( (d) \).
On construit \( H \) à l'équerre ou au compas, et on code l'angle droit.
On calcule \( AH \) avec Pythagore (\( AH^2 = AM^2 - HM^2 \)) ou avec l'aire d'un triangle (hauteur).

Projeté orthogonal de A sur (d)

Le point H où la perpendiculaire à (d) passant par A coupe (d).

Distance de A à (d)

La longueur AH : le plus court chemin de A à la droite.

Pourquoi AH est la plus courte ?

Pour M sur (d), AM est l'hypoténuse du triangle AHM rectangle en H, donc AM > AH.

Calcul avec Pythagore

\( AH^2 = AM^2 - HM^2 \)

Calcul avec l'aire

Aire = base × hauteur ÷ 2, donc hauteur = 2 × aire ÷ base.